Question

Вычислить неопределенный интеграл снизу 1 а сверху 2 ∫2x+1*dx/(x^2+x+2)

Answer 1

∫[(2x+1)/(x²+x+2)]·dx = ?

Поскольку d(x²+x+2) = 2x + 1, то вводя под знак дифференциала (x²+x+2) следует раздалить подынтегральное выражение на 2x + 1.

? =  ∫[(2x+1)/((2x+1)·(x²+x+2))]·d(x²+x+2) =

=  ∫d(x²+x+2)/(x²+x+2) = 2·ln(abs(x²+x+2))

Подставим пределы

ln(abs(2²+2+2)) - ln(abs(1²+1+2)) =

 = ln8 - ln4

 

Answer 2

Для вычисления неопределенного интеграла ∫(2x + 1)dx/(x^2 + x + 2) снизу 1 и сверху 2, мы можем использовать метод частичных дробей. Этот метод позволяет разложить дробь на сумму простых дробей и интегрировать каждую из них отдельно.

Разложение на простые дроби

1. Сначала мы должны разложить знаменатель дроби x^2 + x + 2 на множители. x^2 + x + 2 = (x - 1)(x + 2)

2. Теперь разложим исходную дробь на сумму простых дробей: 2x + 1 / (x^2 + x + 2) = A / (x - 1) + B / (x + 2)

3. Умножим обе части уравнения на знаменатель и приведем к общему знаменателю: 2x + 1 = A(x + 2) + B(x - 1)

4. Раскроем скобки и сгруппируем переменные: 2x + 1 = (A + B)x + (2A - B)

Из этого уравнения можно сопоставить коэффициенты при одинаковых степенях x: A + B = 2 2A - B = 1

5. Решим систему уравнений для A и B. Сложим оба уравнения: A + B + 2A - B = 2 + 1 3A = 3 A = 1

Подставим A = 1 в первое уравнение: 1 + B = 2 B = 1

Таким образом, разложение на простые дроби выглядит следующим образом: 2x + 1 / (x^2 + x + 2) = 1 / (x - 1) + 1 / (x + 2)

Вычисление интеграла

Теперь мы можем интегрировать каждую простую дробь отдельно. Для этого воспользуемся свойством линейности интеграла.

∫(2x + 1)dx/(x^2 + x + 2) = ∫(1 / (x - 1) + 1 / (x + 2))dx

1. Интегрируем первую простую дробь: ∫(1 / (x - 1))dx = ln|x - 1|

2. Интегрируем вторую простую дробь: ∫(1 / (x + 2))dx = ln|x + 2|

Теперь соединим оба интеграла и добавим константу интегрирования:

∫(2x + 1)dx/(x^2 + x + 2) = ln|x - 1| + ln|x + 2| + C

где C - произвольная постоянная.

Вычисление определенного интеграла

Для вычисления определенного интеграла от 1 до 2, мы можем подставить верхнюю и нижнюю границы в выражение для неопределенного интеграла:

∫[1,2](2x + 1)dx/(x^2 + x + 2) = ln|2 - 1| + ln|2 + 2| - ln|1 - 1| - ln|1 + 2|

Упростим это выражение:

∫[1,2](2x + 1)dx/(x^2 + x + 2) = ln(2) + ln(4) - ln(0) - ln(3)

Однако, заметим, что ln(0) не определено, поэтому данный интеграл не существует.

Таким образом, в данном случае неопределенный интеграл не может быть вычислен, так как знаменатель становится равным нулю в некоторых точках на интервале [1,2].