Question

ДАЮ 80 БАЛЛОВ ЗА ВЕРНОЕ РЕШЕНИЕ ДВУХ ЗАДАНИЙ (без спама, пожалуйста) 1)Докажите, что для любых чисел m и n верно неравенство 5/4m^2+3mn+2n^2 ≥0 P.S:знаю, что нужно привести к общему знаменателю. 2)Докажите, что алгебраическое выражение тождественно равно одночлену: ((x^8+x^4-2x^2+6)/(x^4+2x^2+3))+(2x^2-2)

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

1) Доказательство неравенства:

Рассмотрим выражение \(5m^2 + 3mn + 2n^2\). Для удобства, домножим каждое слагаемое на 4:

\[4(5m^2) + 4(3mn) + 4(2n^2)\]

Это приводит нас к следующему выражению:

\[20m^2 + 12mn + 8n^2\]

Теперь добавим и вычтем \(3m^2\) внутри первого слагаемого, и добавим и вычтем \(4n^2\) внутри третьего слагаемого:

\[20m^2 + 12mn + 8n^2 = (20m^2 + 3m^2) + 12mn + (8n^2 - 4n^2)\]

Группируем слагаемые:

\[(23m^2) + 12mn + (4n^2)\]

Теперь заметим, что это выражение может быть записано как квадратное выражение:

\[(3m + 2n)^2\]

Теперь вернемся к исходному неравенству \(5m^2 + 3mn + 2n^2\geq 0\). Подставим полученное выражение:

\[(3m + 2n)^2 \geq 0\]

Квадрат любого вещественного числа неотрицателен, следовательно, неравенство верно для любых значений \(m\) и \(n\).

---

2) Доказательство тождества:

Рассмотрим алгебраическое выражение \(\frac{x^8+x^4-2x^2+6}{x^4+2x^2+3} + (2x^2 - 2)\).

Для начала упростим числитель и знаменатель дроби:

\[\frac{x^8+x^4-2x^2+6}{x^4+2x^2+3} = \frac{x^4(x^4+1-2)+6}{x^4+2x^2+3}\]

Теперь подставим \(u = x^4\), получим:

\[\frac{u(u+1-2)+6}{u+2x^2+3}\]

Раскроем скобки в числителе:

\[\frac{u^2 - u + 6}{u+2x^2+3}\]

Теперь упростим дробь:

\[\frac{(u-3)(u-2)+12}{u+2x^2+3}\]

Подставим обратно \(u = x^4\):

\[\frac{(x^4-3)(x^4-2)+12}{x^4+2x^2+3}\]

Раскроем скобки:

\[\frac{x^8-5x^4+18}{x^4+2x^2+3}\]

Теперь прибавим \(2x^2 - 2\):

\[\frac{x^8-5x^4+18 + (2x^2 - 2)(x^4+2x^2+3)}{x^4+2x^2+3}\]

Раскроем скобки и сгруппируем:

\[\frac{x^8-5x^4+18 + 2x^6 + 4x^4 + 6x^2 - 2x^4 - 4x^2 - 6}{x^4+2x^2+3}\]

Сократим подобные члены:

\[\frac{x^8+2x^6-7x^4+6x^2+12}{x^4+2x^2+3}\]

Теперь упростим дробь, поделив каждый член числителя на \(x^4\):

\[\frac{x^4+2x^2-7+\frac{6}{x^2}+\frac{12}{x^4}}{1+2\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}}\]

Теперь подставим обратно \(u = x^2\):

\[\frac{u+2-7+\frac{6}{u}+\frac{12}{u^2}}{1+2\frac{1}{u}+\frac{3}{u^2}}\]

Раскроем скобки и упростим:

\[\frac{u^3-5u^2+6u+12}{u^2+2u+3}\]

Теперь подставим обратно \(u = x^2\):

\[\frac{x^6-5x^4+6x^2+12}{x^4+2x^2+3}\]

Таким образом, исходное алгебраическое выражение равно:

\[\frac{x^6-5x^4+6x^2+12}{x^4+2x^2+3} = (2x^2 - 2)\]

Таким образом, доказано тождество.