Question

Integral dx/sqrt(x^2+6x+10)

Answer 1

$\int\limits {x^2+6x+10} \, dx = x^3/3+3x^2+10x$

Answer 2

Чтобы решить данный интеграл, мы можем воспользоваться методом подстановки. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

Шаг 1: Замена переменной

Для начала, давайте проведем замену переменной, чтобы упростить интеграл. Обозначим новую переменную как u и проведем следующую замену:

u = x^2 + 6x + 10

Шаг 2: Вычисление производной

Теперь, чтобы продолжить решение, нам понадобится вычислить производную от u по x. Для этого применим правило цепочки:

du/dx = d/dx (x^2 + 6x + 10) = 2x + 6

Шаг 3: Замена переменных в интеграле

Теперь мы можем заменить dx в исходном интеграле на du, используя полученное выражение для du/dx:

dx = du / (2x + 6)

Таким образом, исходный интеграл может быть переписан в новых переменных u и du:

∫ dx / sqrt(x^2 + 6x + 10) = ∫ (du / (2x + 6)) / sqrt(u)

Шаг 4: Вынесение константы

Обратите внимание, что у нас есть 2x + 6 в знаменателе. Мы можем вынести эту константу за знак интеграла:

∫ (du / (2x + 6)) / sqrt(u) = (1/2) ∫ du / sqrt(u)

Шаг 5: Интегрирование

Теперь мы можем интегрировать полученное выражение. Интеграл ∫ du / sqrt(u) относительно u может быть решен с помощью замены переменной или метода интегрирования функций с обратной функцией. Результатом будет:

(1/2) ∫ du / sqrt(u) = (1/2) * 2 * sqrt(u) + C = sqrt(u) + C,

где C - произвольная константа.

Шаг 6: Замена обратно в исходные переменные

Теперь, чтобы получить окончательное решение в исходных переменных x, мы должны заменить обратно u на исходное выражение:

sqrt(u) + C = sqrt(x^2 + 6x + 10) + C.

Таким образом, окончательное решение интеграла будет sqrt(x^2 + 6x + 10) + C, где C - произвольная константа.