Question

Преобразуйте сумму (или разность) тригонометрических функций в произведение и упростите:1) cos 152 + cos 282) cos 20 - sin 203) sin25+sin15 --------------- sin25 - sin 15Докажитеформулы:sin(β+α)1) ctgα + сtgβ = ----------------- sinα sinβ

Answer 1

1 ) cos152+cos28=2cos152+28/2 * cos152-28/2=2cos90*cos62=2*0*cos62=0

 

Answer 2

Для начала давайте рассмотрим задачу преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и упростим ее.

В задаче дано: 1) cos 152 + cos 28 2) cos 20 - sin 20 3) sin 25 * sin 15 / (sin 25 - sin 15)

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Для преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, мы можем использовать тригонометрическую формулу для сложения углов. Данная формула имеет вид:

cos(α + β) = cos α * cos β - sin α * sin β

1) cos 152 + cos 28

Мы можем применить формулу для сложения углов и получить:

cos(152 + 28) = cos 152 * cos 28 - sin 152 * sin 28

Упрощение выражений

2) cos 20 - sin 20

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрическую формулу для разности углов. Данная формула имеет вид:

cos(α - β) = cos α * cos β + sin α * sin β

Мы можем применить формулу для разности углов и получить:

cos(20 - 20) = cos 20 * cos 20 + sin 20 * sin 20

3) sin 25 * sin 15 / (sin 25 - sin 15)

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать формулу разности синусов. Данная формула имеет вид:

sin(α - β) = sin α * cos β - cos α * sin β

Мы можем применить формулу для разности синусов и получить:

sin(25 - 15) = sin 25 * cos 15 - cos 25 * sin 15

Доказательство формулы

Для доказательства формулы:

sin(β + α) = ctg α + ctg β / (sin α * sin β)

Мы можем использовать тригонометрическую формулу для сложения углов:

sin(β + α) = sin β * cos α + cos β * sin α / (sin α * sin β)

Затем, мы можем выразить ctg α и ctg β через sin и cos:

ctg α = cos α / sin α ctg β = cos β / sin β

Подставив значения ctg α и ctg β в формулу, мы получим:

sin(β + α) = (sin β * cos α + cos β * sin α) / (sin α * sin β)

Значения sin β * cos α и cos β * sin α можно переставить местами, так как умножение коммутативно. Это дает нам:

sin(β + α) = (cos α * sin β + sin α * cos β) / (sin α * sin β)

Теперь мы можем сократить sin α и sin β в числителе и знаменателе:

sin(β + α) = (cos α * sin β + sin α * cos β) / (sin α * sin β) = (cos α * sin β) / (sin α * sin β) + (sin α * cos β) / (sin α * sin β) = (cos α / sin α) + (cos β / sin β) = ctg α + ctg β

Таким образом, мы доказали формулу:

sin(β + α) = ctg α + ctg β / (sin α * sin β)

Важно отметить, что формула может быть доказана иным способом, но данное доказательство является одним из возможных иллюстраций.