Question

Помогите, пожалуйста, с тригонометрическим уравнением4cos^2 2x-1=cos4x

Answer 1

4cos^2 2x-1=cos4x

2(2cos^2 2x)-1=cos4x ⇒ 2cos^2 2x раскрываем формулу

2(1+cos4x) -1= cos4x

2+2cos4x-1- cos4x=0

2cos4x-cos4x+1=0

cos4x= -1

4x= Пи+2Пи*k

x=ПИ/4 + ПИ*k/2, к принадл. множ Z

 

Answer 2

перепишем уравнение следующим образом: 2cos4x+1=cos4x, cos4x=-1,

x=(pi+k*pi)/4=pi/4*(k+1), k=0,1,2,...

Answer 3

Давайте разберемся с тригонометрическим уравнением 4cos^2(2x) - 1 = cos(4x). Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать различные тригонометрические тождества и алгебраические преобразования.

Шаг 1: Приведение к общей форме

Начнем с приведения уравнения к общей форме, чтобы все тригонометрические функции содержали только одну переменную. В данном случае, у нас есть две различные функции: cos(2x) и cos(4x). Давайте заменим cos(4x) с использованием тригонометрического тождества cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1:

4cos^2(2x) - 1 = 2cos^2(2x) + 2cos^2(2x) - 1 = 2(2cos^2(2x)) - 1

Теперь у нас есть только одна тригонометрическая функция cos^2(2x).

Шаг 2: Замена переменных

После приведения уравнения к общей форме, мы можем ввести новую переменную, чтобы упростить решение уравнения. Давайте заменим cos^2(2x) на другую переменную, например, пусть t = cos^2(2x). Тогда уравнение станет:

2t - 1 = t

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть простое квадратное уравнение 2t - 1 = t. Решим его:

2t - 1 = t t - 1 = 0 t = 1

Шаг 4: Обратная замена переменных

Теперь, когда мы нашли значение t, мы можем вернуться к исходной переменной cos^2(2x):

cos^2(2x) = 1

Шаг 5: Решение исходного уравнения

Чтобы найти значения x, нам нужно взять квадратный корень из обеих сторон уравнения:

cos(2x) = ±√1 cos(2x) = ±1

Теперь мы можем решить два уравнения:

1) cos(2x) = 1: 2x = 2πn, где n - целое число x = πn, где n - целое число

2) cos(2x) = -1: 2x = π + 2πn, где n - целое число x = (π + 2πn)/2, где n - целое число

Таким образом, решение исходного уравнения 4cos^2(2x) - 1 = cos(4x) является: x = πn, где n - целое число x = (π + 2πn)/2, где n - целое число

Пожалуйста, обратите внимание, что это лишь одно из возможных решений данного уравнения. Тригонометрические уравнения могут иметь бесконечное количество решений в пределах заданного диапазона значений переменной.