Question

Решите неравенство sin(2x - π/6) ≥ - √3/2.

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения неравенства \( \sin(2x - \frac{\pi}{6}) \geq -\frac{\sqrt{3}}{2} \), давайте выполним следующие шаги.

1. Начнем с определения интервалов, на которых \(\sin(2x - \frac{\pi}{6})\) положителен или отрицателен.

Рассмотрим \(\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), и найдем значения \(x\), для которых это уравнение равно нулю.

\[ 2x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \] где \(k\) - целое число. Решим это уравнение относительно \(x\):

\[ 2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k\pi, \] \[ x = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \] \[ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}. \]

Теперь рассмотрим интервалы между найденными значениями \(x\) и проверим знак \(\sin(2x - \frac{\pi}{6})\) в каждом интервале.

- Если \(-\frac{\pi}{12} + \frac{(2n-1)\pi}{2} \leq x < -\frac{\pi}{12} + \frac{(2n+1)\pi}{2}\) для некоторого целого \(n\), то \(\sin(2x - \frac{\pi}{6}) > 0\). - Если \(-\frac{\pi}{12} + \frac{(2n-1)\pi}{2} \leq x < -\frac{\pi}{12} + \frac{2n\pi}{2}\) для некоторого целого \(n\), то \(\sin(2x - \frac{\pi}{6}) < 0\).

2. Теперь рассмотрим условие задачи \(\sin(2x - \frac{\pi}{6}) \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Мы знаем, что \(\sin(2x - \frac{\pi}{6})\) положителен в определенных интервалах и отрицателен в других.

- Если \(\sin(2x - \frac{\pi}{6}) \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}\) на интервале \(-\frac{\pi}{12} + \frac{(2n-1)\pi}{2} \leq x < -\frac{\pi}{12} + \frac{(2n+1)\pi}{2}\), то решение есть весь этот интервал. - Если \(\sin(2x - \frac{\pi}{6}) \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}\) на интервале \(-\frac{\pi}{12} + \frac{(2n-1)\pi}{2} \leq x < -\frac{\pi}{12} + \frac{2n\pi}{2}\), то решение в этом интервале.

Таким образом, решение неравенства будет в объединении всех интервалов, где выполняется условие \(\sin(2x - \frac{\pi}{6}) \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}\).