Question

Решить уравнение: a)sin2x=1 б)cosxcos2x+sinxsin2x=0 в)cos^2x=cos2x

Answer 1

a) sin2x=1

2x=pi/2+2pin

x=pi/4+pin

 

b)  сворачиваем в формулу: cos(x-2x)=0

cosx=0 (т.к. функция четная)

x=pi/2 +pin

 

с) cos^2x-cos2x=0

cos^2x-cos^2x+sin^2x=0

sin^2x=0

sinx=0

x=pin

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди:

a) \( \sin(2x) = 1 \)

Решение: \[ \sin(2x) = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти значения x: \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

b) \( \cos(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) = 0 \)

Решение: Используем тригонометрическую формулу для суммы углов: \[ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \] Применим её: \[ \cos(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) = \cos(x + 2x) = \cos(3x) \] Теперь у нас есть уравнение \(\cos(3x) = 0\), и его решениями будут: \[ 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Разделим обе части на 3: \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

в) \( \cos^2(x) = \cos(2x) \)

Решение: Используем тригонометрическую формулу для удвоенного угла: \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \] Подставим это в уравнение: \[ \cos^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ \cos^2(x) - 2\cos^2(x) + 1 = 0 \] Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\). Решим его: \[ (\cos(x) - 1)^2 = 0 \] Отсюда получаем единственное решение: \[ \cos(x) = 1 \] Таким образом, уравнение имеет единственное решение \(x = 0\).

Итак, решения уравнений: a) \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\) b) \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}\) в) \(x = 0\)