Question

найти экстремумы функции y=(1/3)*x^3-2x^2 объясните пожалуйста подробно, как правильно найти производную, и решать далее.

Answer 1

Производная находится так. 
степень которая стоит в X ставится перед ним. тоесть 3*1/3x^2 (а сама степень вычитается на 1)

После чего решаем обычное биквадратное уравнение с вынесением Х. Находим две точки. Дальше определяем знаки. Берём число строго меньше нуля и подставляем его в начальное выражение, считаем и получаем либо положительное либо отрицательное число. После берём чила от 1 до 3-х и делаем тоже самое. А после строго больше четырёх.

Точка максимума - это где знак переходит с - на +
Точка минимума - это где знак переходит с + на -

 

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции \(y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2\), нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти производную функции

Для нахождения экстремумов найдем производную функции по переменной \(x\).

\[y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - 2x^2\right)\]

Используем правила дифференцирования:

\[y' = x^2 - 4x\]

Шаг 2: Найти точки, где производная равна нулю

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[x^2 - 4x = 0\]

\[x(x - 4) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = 4\).

Шаг 3: Используйте тест знаков для определения типа экстремума

Теперь нужно использовать тест знаков, чтобы определить, является ли каждая точка экстремумом и какого типа (минимум или максимум).

- Подставим \(x = -\infty\), \(x = 2\), и \(x = +\infty\) в производную \(y'\):

- При \(x = -\infty\): \[(-\infty)^2 - 4(-\infty) = +\infty\] (положительное число) - При \(x = 2\): \[2^2 - 4 \cdot 2 = -4\] (отрицательное число) - При \(x = +\infty\): \[(+\infty)^2 - 4(+\infty) = +\infty\] (положительное число)

Шаг 4: Сделайте выводы

Таким образом, у нас есть две кандидатуры на экстремумы: \(x = 0\) и \(x = 4\).

- При \(x = 0\) функция \(y\) имеет точку перегиба (инфлексию). - При \(x = 4\) функция \(y\) имеет минимум.

Итак, экстремумы функции \(y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2\) находятся в точках \(x = 0\) (инфлексия) и \(x = 4\) (локальный минимум).