Question

№2Решить неравенства: а) ℓog3(3x-1) < ℓog 3(2x+3) б) ℓog ½ (x2+4) ≤ ℓog ½ (2x+7)

Answer 1

а) ОДЗ(ООФ):  {3х-1>0 и 2х+3>0 }  ⇒ { х>1/3 и х>-3/2 }  ⇒  х>1/3

 Так как основание логарифма 3>1, то такой же знак надо ставить между аргументами:

 3х-1<2х+3,     х<4

Учитывая ОДЗ имеем: 1/3<х<4 или х∈(1/3,4)

б) ОДЗ:  {х²+4>0 и 2х+7>0}  ⇒х>-7/2, х>-3,5 

Так как основания логарифмов 0<1/2<1, то х²+4≥2х+7 

                                                                                   х²-2х-3≥0.

Корни квадр. трехчлена х₁=-1, х₂=3. Методом интервалов находим, что решением неравенства будет объединение интервалов х∈(-∞,-1]∨[3,∞). Учтем ОДЗ, тогда окончательно: х∈(-3,5 ;-1]∨[3 ;∞).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

а) Основания логарифмов одинаковы и больше единицы - знак неравенства не меняем:

3x - 1 < 2x + 3,

x < 4.

 

ОДЗ: 3х - 1>0, x>1/3, 2x+3>0, x>- 1,5.

Объединяя промежутки, получаем: 1/3< x < 4

 

б) Основания логарифмов одинаковы, но меньше единицы - знак неравенства меняем на противоположный:

х^2 + 4 > или = 2х + 7,

Неравенство решается методом интервалов:

(х-3)*(х+2) больше или равно 0

 

ОДЗ: 2х+7 > 0, х > - 3,5

Объединяя промежутки, получаем ответ:

Х принадлежит (- 3,5; - 2) и [3; + бесконечность)

Answer 3

Давайте решим неравенства по очереди:

а) ℓog3(3x-1) < ℓog3(2x+3)

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать свойства логарифмов. В данном случае, оба логарифма имеют основание 3. Мы можем применить свойство логарифма, которое говорит, что если два логарифма с одинаковым основанием сравниваются, то их аргументы могут быть сравнены.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

3x-1 < 2x+3

Теперь мы можем решить это неравенство, выражая x:

3x - 2x < 3 + 1

x < 4

Итак, решением этого неравенства является любое число x, которое меньше 4.

б) ℓog ½ (x^2+4) ≤ ℓog ½ (2x+7)

Аналогично, мы можем использовать свойства логарифмов для решения этого неравенства. Оба логарифма имеют основание 1/2, поэтому мы можем применить свойство, которое говорит, что если два логарифма с одинаковым основанием сравниваются, то их аргументы могут быть сравнены.

Запишем неравенство в виде:

x^2 + 4 ≤ 2x + 7

Теперь мы можем решить это квадратное неравенство, перенеся все выражения на одну сторону:

x^2 - 2x + 3 ≤ 0

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение. Факторизируем его:

(x - 1)(x - 3) ≤ 0

Теперь мы можем определить знак выражения (x - 1)(x - 3) для различных значений x:

- Если x < 1, оба множителя (x - 1) и (x - 3) будут отрицательными, и их произведение будет положительным. - Если 1 ≤ x ≤ 3, один из множителей будет положительным, а другой - отрицательным, и их произведение будет отрицательным. - Если x > 3, оба множителя будут положительными, и их произведение будет положительным.

Исходя из этого, мы видим, что выражение (x - 1)(x - 3) должно быть меньше или равно нулю, то есть:

1 ≤ x ≤ 3

Итак, решением этого неравенства является любое число x, которое находится в диапазоне от 1 до 3 включительно.