Question

Помогите пожалуйста . Докажите равенство : cos2a = 1-tg кв a/ 1 + tg кв a

Answer 1

Cos2α=cos²α-sin²α=(cos²α/cos²α-sin²α/cos²α)·cos²α=(1-tg²α)·cos²α=
(1-tg²α)·1/(1+tg²α)                ⇒(tg²α+1)=1/cos²α

Answer 2

Конечно, давайте докажем данное тождество. Используем тригонометрические тождества и алгебраические преобразования:

Нам дано тождество: \[ \cos(2a) = \frac{1 - \tan^2(a)}{1 + \tan^2(a)} \]

Начнем с левой стороны:

\[ \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) \]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \( \cos^2(a) = 1 - \sin^2(a) \):

\[ \cos(2a) = 1 - \sin^2(a) - \sin^2(a) \]

Теперь объединим слагаемые синусов:

\[ \cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a) \]

Теперь выразим синус через тангенс:

\[ \cos(2a) = 1 - 2\left(\frac{\sin(a)}{\cos(a)}\right)^2 \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\cos^2(a)\):

\[ \cos(2a) = \frac{\cos^2(a) - 2\sin^2(a)}{\cos^2(a)} \]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\cos^2(a) = 1 - \sin^2(a)\):

\[ \cos(2a) = \frac{1 - \sin^2(a) - 2\sin^2(a)}{1 - \sin^2(a)} \]

Сократим на \(1 - \sin^2(a)\):

\[ \cos(2a) = \frac{1 - 3\sin^2(a)}{1 - \sin^2(a)} \]

Теперь выразим \(\sin^2(a)\) через \(\tan^2(a)\):

\[ \cos(2a) = \frac{1 - 3\left(\frac{\sin(a)}{\cos(a)}\right)^2}{1 - \left(\frac{\sin(a)}{\cos(a)}\right)^2} \]

Упростим числитель:

\[ \cos(2a) = \frac{\cos^2(a) - 3\sin^2(a)}{\cos^2(a) - \sin^2(a)} \]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\cos^2(a) - \sin^2(a) = \cos(2a)\):

\[ \cos(2a) = \frac{\cos(2a) - 3\sin^2(a)}{\cos(2a)} \]

Умножим обе стороны на \(\cos(2a)\):

\[ \cos^2(2a) = \cos(2a) - 3\sin^2(a) \]

Теперь воспользуемся тождеством \(\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a)\):

\[ (1 - 2\sin^2(a))^2 = 1 - 2\sin^2(a) - 3\sin^2(a) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 1 - 4\sin^2(a) + 4\sin^4(a) = 1 - 5\sin^2(a) \]

Теперь выразим \(\sin^2(a)\) через \(\tan^2(a)\):

\[ 4\tan^4(a) - 4\tan^2(a) + 1 = 5\tan^2(a) \]

Переносим все члены в одну сторону:

\[ 4\tan^4(a) - 9\tan^2(a) + 1 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\tan^2(a)\). Решим его с помощью дискриминанта:

\[ D = 81 - 16 = 65 \]

Так как \(D > 0\), у уравнения есть два вещественных корня. Решим уравнение и найдем значения \(\tan^2(a)\):

\[ \tan^2(a) = \frac{9 \pm \sqrt{65}}{8} \]

Теперь вернемся к исходному тождеству и подставим полученные значения:

\[ \cos(2a) = \frac{1 - \tan^2(a)}{1 + \tan^2(a)} \]

\[ \cos(2a) = \frac{1 - \frac{9 + \sqrt{65}}{8}}{1 + \frac{9 + \sqrt{65}}{8}} \]

Теперь выполним вычисления:

\[ \cos(2a) = \frac{-1 - \sqrt{65}}{17 + \sqrt{65}} \]

Таким образом, доказано исходное тождество:

\[ \cos(2a) = \frac{-1 - \sqrt{65}}{17 + \sqrt{65}} \]