Question

Найти произведение: tg15×tg25×tg35×tg85

Answer 1

$\mathrm{tg}15\cdot \mathrm{tg}25\cdot\mathrm{tg}35\cdot\mathrm{tg}85 = \dfrac{\sin15\cdot \sin25\cdot\sin35\cdot\sin85}{\cos15\cdot \cos25\cdot\cos35\cdot\cos85} = \\\\ = \dfrac{ \left(\frac{1}{2} \cos(15-25)-\cos(15+25)\right)\cdot \left(\frac{1}{2} \cos(35-85)-\cos(35+85)\right)}{ \left(\frac{1}{2} \cos(15-25)+\cos(15+25)\right)\cdot \left(\frac{1}{2} \cos(35-85)+\cos(35+85)\right)} =$
$= \dfrac{ (\cos10-\cos40)\cdot (\cos50-\cos120)}{ (\cos10+\cos40)\cdot (\cos50+\cos120)} = \\\\ = \dfrac{ \cos10\cos50-\cos10\cos120-\cos40\cos50+\cos40\cos120}{ \cos10\cos50+\cos10\cos120+\cos40\cos50+\cos40\cos120} = \\\\ = \dfrac{ \cos10\cos50+\cos40\cos120-(\cos10\cos120+\cos40\cos50)}{ \cos10\cos50+\cos40\cos120+(\cos10\cos120+\cos40\cos50)}$
Рассмотрим выражение:
$\cos10\cos120+\cos40\cos50= \\\ =\frac{1}{2} \cos(10+120)\cos(10-120)+\frac{1}{2} \cos(40+50)\cos(40-50)= \\\ =\frac{1}{2} \cos130\cos110+\frac{1}{2} \cos90\cos10= \\\ =\frac{1}{2} (\cos130\cos110+\cos10)= \\\ =\frac{1}{2} (2\cos \frac{130+110}{2} \cos \frac{130-110}{2} +\cos10)= \\\ =\frac{1}{2} (2\cos120 \cos 10+\cos10)= \\\ =\frac{1}{2} \cos 10 (2\cos120+1)=\frac{1}{2} \cos 10 (2\cdot(- \frac{1}{2})+1)=\frac{1}{2} \cos 10 \cdot0=0$
Тогда:
$\mathrm{tg}15\cdot \mathrm{tg}25\cdot\mathrm{tg}35\cdot\mathrm{tg}85 = \dfrac{ \cos10\cos50+\cos40\cos120-0}{ \cos10\cos50+\cos40\cos120+0}=1$