Question

ДОПОМОЖІТЬ !!!Доведіть, що значення виразу 14^10+14^2+196^6-183^2 ділиться націло на 197 !!!!!

Answer 1

14^10+14^2+196^6-183^2 = 14^10+(14^2)^6+14^2-183^2 =
= 14^10*(1+14^2) + (14-183)(14+183) =
= 14^10 * 197 - 169*197 = 197*(14^10-169)

Answer 2

Щоб довести, що значення виразу 14^10 + 14^2 + 196^6 - 183^2 ділиться націло на 197, ми можемо скористатися теоремою малої Ферми.

Згідно з теоремою малої Ферми, якщо p - просте число і a - ціле число, яке не ділиться на p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p), де ≡ позначає "конгруентність за модулем".

У нашому випадку, p = 197, тому 14^196 ≡ 1 (mod 197) та 196^196 ≡ 1 (mod 197) за теоремою малої Ферми.

Також, 14^2 ≡ 196 (mod 197) та 183^2 ≡ (-14)^2 ≡ 196 (mod 197).

Тому, ми можемо переписати вираз наступним чином:

14^10 + 14^2 + 196^6 - 183^2 ≡ 1 + 196 + 1 - 196 ≡ 2 (mod 197).

Отже, значення виразу дорівнює 2 (mod 197), що означає, що воно ділиться націло на 197.