Question

Решите уравнение x^3-x^2-25x+25=0

Answer 1

X³-x²-25x+25=0
(x³-x²)-(25x-25)=0
x²(x-1)-25(x-1)=0
(x-1)(x²-25)=0
(x-1)(x-5)(x+5)=0
x-1=0 или х-5=0  или х+5=0
х₁=1         х₂=5          х₃=-5
Ответ: -5; 1; 5

Answer 2

Для решения данного кубического уравнения можно использовать различные методы, такие как методы деления пополам, метод Ньютона или метод Кардано. В данном случае я расскажу о методе Кардано, который является одним из классических способов решения кубических уравнений.

Метод Кардано позволяет свести кубическое уравнение к биквадратному уравнению, которое можно решить с использованием стандартных методов.

Шаг 1: Приведение уравнения к нормальной форме

Для начала, нам нужно привести уравнение к нормальной форме, чтобы избавиться от кубического члена со старшей степенью. Для этого мы вводим новую переменную y, такую что x = y - b/3, где b - коэффициент при квадратичном члене (x^2) в исходном уравнении.

Исходное уравнение: x^3 - x^2 - 25x + 25 = 0

Подставляем x = y - b/3: (y - b/3)^3 - (y - b/3)^2 - 25(y - b/3) + 25 = 0

Упрощаем и получаем: y^3 - (b/3)y^2 + (2b^2/9)y - (b^3/27) - y^2 + (2b/3)y - (2b^2/9) - 25y + 25b/3 + 25 = 0

Упрощаем дальше и получаем: y^3 - (b/3)y^2 + (2b/3)y - (y^2/3) - 25y + (25b/3) - (b^3/27) - (2b^2/9) + 25 = 0

Шаг 2: Приведение уравнения к биквадратному уравнению

Теперь мы хотим избавиться от кубического члена (y^3). Для этого мы вводим новую переменную z, такую что y = z - a/z, где a - сумма всех членов при кубическом и линейном членах (y^3 и y) в приведенном уравнении.

Приведенное уравнение: z^3 - (b/3)z^2 + (2b/3)z - (z^2/3) - 25z + (25b/3) - (b^3/27) - (2b^2/9) + 25 = 0

Упрощаем и получаем: z^3 - (b/3)z^2 + (2b/3)z - (z^2/3) - 25z + (25b/3) - (b^3/27) - (2b^2/9) + 25 = 0

Шаг 3: Решение биквадратного уравнения

Теперь мы получили биквадратное уравнение вида z^4 + pz^2 + qz + r = 0, где p, q и r - новые коэффициенты, полученные из приведенного уравнения.

Для решения биквадратного уравнения можно использовать стандартные методы, такие как формула корней квадратного уравнения или методы деления пополам.

После нахождения корней z1, z2, z3 и z4 биквадратного уравнения, мы можем использовать обратные замены, чтобы найти значения переменных y и x.

y = z - a/z x = y - b/3

Таким образом, мы можем найти все корни исходного кубического уравнения x^3 - x^2 - 25x + 25 = 0.

Однако, решение этого уравнения вручную может быть сложным и трудоемким процессом. Поэтому, для более точных и быстрых результатов рекомендуется использовать компьютерные программы или калькуляторы для решения кубических уравнений.