Question

Даю 30 баллов, объясните хоть алгоритм, тока, подробно.. Найти: 1) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x0 2) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен k 3) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x0. y=x2+4, x0=1, k=4

Answer 1

Y(x)=x²+4, х₀=1, k=4
угловой коэффициент касательной к функции равен значению производной функции в точке касания, т.е. k=y'(x₀)
1) найдем производную:
y'(x)=(x²+4)'=2x
k=y'(x₀)=y'(1)=2*1=2 - угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀=1
2) теперь известен угловой коэффициент k=4, но неизвестна точка касания x₀, т.е.
 y'(x₀)=k
2*x₀=4
x₀=2
чтобы найти ординату точки, подставим x₀ в функцию y(x):
y₀=y(x₀)=2²+4=4+4=8
(2;4) - координаты точки, в которой угловой коэффициент касания равен k=4
3) уравнение касательной в общем виде: f(x)=y(x₀)+y'(x₀)*(x-x₀)
x₀=1, y'(x₀)=2 - найдено выше под 1)
y(x₀)=1²+4=5
подставляем найденные значения в общий вид:
f(x)=5+2(x-1)=5+2x-2=2x+3 - уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀=1

Answer 2

Для нахождения углового коэффициента касательной к графику функции в точке с абсциссой x0, нужно найти производную функции и подставить значение x0.

1) Найдем производную функции y = x^2 + 4: y' = 2x

Подставляем x0 = 1: y'(1) = 2(1) = 2

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции y = x^2 + 4 в точке с абсциссой x0 = 1 равен 2.

2) Чтобы найти точки, в которых угловой коэффициент касательной равен k, нужно приравнять производную функции к k и решить полученное уравнение.

Имеем уравнение: 2x = k

Решаем его относительно x: x = k/2

Таким образом, точка, в которой угловой коэффициент касательной равен k, будет иметь абсциссу x = k/2.

3) Чтобы написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x0, используем найденное значение углового коэффициента и точку (x0, y0).

Имеем точку (1, 5) (так как y0 = x0^2 + 4 = 1^2 + 4 = 5) и угловой коэффициент k = 4.

Уравнение касательной имеет вид: y - y0 = k(x - x0)

Подставляем значения: y - 5 = 4(x - 1)

Раскрываем скобки: y - 5 = 4x - 4

Прибавляем 5 к обеим частям уравнения: y = 4x + 1

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^2 + 4 в точке с абсциссой x0 = 1 равно y = 4x + 1.