Question

Упростить выражение (a+1)(a²+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^16+1)(a^32+1)

Answer 1

Домножим числитель и знаменатель на выражение а-1,а≠1
(a+1)(a²+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^16+1)(a^32+1) =
=(a-1)(a+1)(a²+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^16+1)(a^32+1) /(a-1)=
=(a²-1)(a²+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^16+1)(a^32+1) /(a-1)=
=(a^4-1)(a^4+1)(a^8+1)(a^16+1)(a^32+1)/(a-1)=
=(a^8-1)(a^8+1)(a^16+1)(a^32+1) /(a-1)=
=(a^16-1)(a^16+1)(a^32+1) /(a-1)=(a^32-1)(a^32+1)/(a-1)=(a^64-1)/(a-1)

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться свойствами алгебры и применить формулу суммы квадратов, чтобы упростить каждый множитель:

(a + 1)(a² + 1) = a³ + a² + a + 1 (a³ + 1)(a² + 1) = a⁵ + a³ + a² + a + 1 (a⁵ + 1)(a² + 1) = a⁷ + a⁵ + a² + a + 1 (a⁷ + 1)(a² + 1) = a⁹ + a⁷ + a² + a + 1 (a⁹ + 1)(a² + 1) = a¹¹ + a⁹ + a² + a + 1 (a¹¹ + 1)(a² + 1) = a¹³ + a¹¹ + a² + a + 1 (a¹³ + 1)(a² + 1) = a¹⁵ + a¹³ + a² + a + 1 (a¹⁵ + 1)(a² + 1) = a¹⁷ + a¹⁵ + a² + a + 1 (a¹⁷ + 1)(a² + 1) = a¹⁹ + a¹⁷ + a² + a + 1 (a¹⁹ + 1)(a² + 1) = a²¹ + a¹⁹ + a² + a + 1 (a²¹ + 1)(a² + 1) = a²³ + a²¹ + a² + a + 1 (a²³ + 1)(a² + 1) = a²⁵ + a²³ + a² + a + 1 (a²⁵ + 1)(a² + 1) = a²⁷ + a²⁵ + a² + a + 1 (a²⁷ + 1)(a² + 1) = a²⁹ + a²⁷ + a² + a + 1 (a²⁹ + 1)(a² + 1) = a³¹ + a²⁹ + a² + a + 1 (a³¹ + 1)(a² + 1) = a³³ + a³¹ + a² + a + 1 (a³³ + 1)(a² + 1) = a³⁵ + a³³ + a² + a + 1 (a³⁵ + 1)(a² + 1) = a³⁷ + a³⁵ + a² + a + 1 (a³⁷ + 1)(a² + 1) = a³⁹ + a³⁷ + a² + a + 1

Таким образом, упрощенное выражение будет:

(a + 1)(a² + 1)(a⁴ + 1)(a⁸ + 1)(a¹⁶ + 1)(a³² + 1) = a³⁹ + a³⁷ + a³⁵ + a³³ + a³¹ + a²⁹ + a²⁷ + a²⁵ + a²³ + a²¹ + a¹⁹ + a¹⁷ + a¹⁵ + a¹³ + a¹¹ + a⁹ + a⁷ + a⁵ + a³ + a² + a + 1

Таким образом, выражение упрощается в виде a³⁹ + a³⁷ + a³⁵ + a³³ + a³¹ + a²⁹ + a²⁷ + a²⁵ + a²³ + a²¹ + a¹⁹ + a¹⁷ + a¹⁵ + a¹³ + a¹¹ + a⁹ + a⁷ + a⁵ + a³ + a² + a + 1.