Question

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции а) у=3х^4+4x^3+1 на отрезке [-2;1]

Answer 1

у=3х^4+4x^3+1,

y'=12x^3+12x^2,

y'=0, 12x^3+12x^2=0,

12x^2(x+1)=0,

x^2=0, x_1=0,

x+1=0, x_2=-1,

f(-2)=17,

f(-1)=0,

f(0)=1,

f(1)=8,

min_{x∈[-2;1]}=0, x=-1,

max_{x∈[-2;1]}=17, x=-2.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции \(y = 3x^4 + 4x^3 + 1\) на заданном отрезке \([-2;1]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции внутри данного интервала, где производная равна нулю или не существует. 2. Определите значения функции на концах отрезка и в найденных критических точках. 3. Сравните полученные значения, чтобы найти наименьшее и наибольшее.

Давайте выполним эти шаги.

Шаг 1: Найдем производную функции

\[ y' = 12x^3 + 12x^2 \]

Шаг 2: Найдем критические точки

Производная равна нулю при \( 12x^3 + 12x^2 = 0 \). Факторизуем:

\[ 12x^2(x + 1) = 0 \]

Таким образом, получаем две критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -1 \).

Шаг 3: Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках

1. Подставим \( x = -2 \), \( x = 0 \) и \( x = 1 \) в исходную функцию:

- \( y(-2) = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 + 1 \) - \( y(0) = 3(0)^4 + 4(0)^3 + 1 \) - \( y(1) = 3(1)^4 + 4(1)^3 + 1 \)

2. Подставим \( x = -1 \), чтобы найти значение во второй критической точке:

- \( y(-1) = 3(-1)^4 + 4(-1)^3 + 1 \)

Шаг 4: Сравним значения

Сравним полученные значения, чтобы найти наименьшее и наибольшее:

- Минимальное значение: выберем наименьшее из полученных значений. - Максимальное значение: выберем наибольшее из полученных значений.

Таким образом, мы найдем минимальное и максимальное значения функции на заданном отрезке.