Question

Доказать тождество a_n =a_1+(n-1)d (ФОРМУЛА n- ГО ЧЛЕНА АРИФМ. ПРОГРЕССИИ)МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Answer 1

1. проверим справедливость формула при n=1 A1 = A1
2. предположим, что формула верна при n=k
Ak=A1 + (k-1)d
3. докажем ее справедливость для n = k+1
A(k+1) = Ak + d (по определению арифметической прогрессии)
=(подставляем Ak) A1 + (k-1)d + d = A1 + ((k+1) -1)d т. е. доказываемая формула.
4. Полагая к=1, доказали для n=2
k=2 n=3 и т. д.
формула доказана
( плиз отметь лучшей) 

Answer 2

Тождество арифметической прогрессии

Тождество арифметической прогрессии утверждает, что любой член арифметической прогрессии может быть выражен через первый член, разность и номер этого члена. Формула для вычисления n-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

a_n = a_1 + (n-1)d

где: - a_n - n-й член арифметической прогрессии - a_1 - первый член арифметической прогрессии - d - разность арифметической прогрессии - n - номер члена арифметической прогрессии

Докажем данное тождество методом математической индукции.

Метод математической индукции

Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, которые зависят от натурального числа n. Доказательство методом индукции состоит из двух шагов: 1. Базисный шаг: Доказываем утверждение для n=1 (или другого начального значения). 2. Шаг индукции: Предполагаем, что утверждение верно для n=k и доказываем, что оно верно для n=k+1.

Доказательство тождества арифметической прогрессии методом математической индукции

Базисный шаг (n=1): Подставим n=1 в формулу и проверим, что она выполняется:

a_1 = a_1 + (1-1)d

Оба выражения равны a_1, следовательно, базисный шаг выполнен.

Шаг индукции: Предположим, что формула выполняется для n=k, то есть a_k = a_1 + (k-1)d. Докажем, что она выполняется для n=k+1:

a_(k+1) = a_1 + (k+1-1)d

Упростим выражение:

a_(k+1) = a_1 + kd

Так как a_k = a_1 + (k-1)d, то можно заменить a_k в выражении:

a_(k+1) = a_k + d

Подставим a_k = a_1 + (k-1)d:

a_(k+1) = a_1 + (k-1)d + d

Упростим выражение:

a_(k+1) = a_1 + kd

Таким образом, мы получили исходную формулу для n=k+1, что доказывает шаг индукции.

Исходя из базисного шага и шага индукции, мы можем сделать вывод, что формула a_n = a_1 + (n-1)d выполняется для всех натуральных чисел n.

Пример использования формулы

Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть арифметическая прогрессия с первым членом a_1 = 3 и разностью d = 2. Мы хотим найти 10-й член этой прогрессии.

Используя формулу a_n = a_1 + (n-1)d, подставим значения:

a_10 = 3 + (10-1) * 2

Выполняем вычисления:

a_10 = 3 + 9 * 2

a_10 = 3 + 18

a_10 = 21

Таким образом, 10-й член арифметической прогрессии с первым членом 3 и разностью 2 равен 21.

Заключение

Тождество арифметической прогрессии a_n = a_1 + (n-1)d может быть доказано методом математической индукции. Оно позволяет вычислять любой член арифметической прогрессии, зная первый член, разность и номер этого члена.