Question

Найдите сумму первых семи членов арифметической прогрессии, произведение третьего и пятого членов которой равны второму члену, а сумма первого и восьмого членов равна 2.

Answer 1

$S_7-?\\\\ \left \{ {{a_3*a_5=a_2} \atop {a_1+a_8=2}} \right.\\\\ \left \{ {{(a_1+2d)(a_1+4d)=a_1+d} \atop {a_1+a_1+7d=2}} \right.\\\\ a_1+a_1+7d=2\\2a_1+7d=2\\2a_1=2-7d\\a_1=1-3,5d\\\\(1-3,5d+2d)(1-3,5d+4d)=1-3,5d+d\\(1-1,5d)(1=0,5d)=1-2,5d\\1-1,5d+0,5d-0,75d^2=1-2,5d\\-d-0,75d^2=-2,5d\\0,75d^2-1,5d=0\\d(0,75d-1,5)=0\\d \neq 0\\0,75d-1,5=0\\0,75d=1,5\\d=1,5:0,75\\d=2\\\\a_1=1-3,5*2=1-7=-6$

$a_7=a_1+6d=-6+6*2=-6+12=6\\\\S_7= \frac{a_1+a_7}{2}*7= \frac{-6+6}{2}*7=0*7=0$

Answer 2

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а разность между членами равна d. Тогда второй член будет равен a + d, третий член будет равен a + 2d, и так далее.

Условие говорит нам, что произведение третьего и пятого членов равно второму члену. Мы можем записать это в виде уравнения:

(a + 2d) * (a + 4d) = a + d

Раскроем скобки:

a^2 + 6ad + 8d^2 = a + d

Теперь условие говорит нам, что сумма первого и восьмого членов равна 2. Мы можем записать это в виде уравнения:

a + (a + 7d) = 2

Раскроем скобки:

2a + 7d = 2

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

a^2 + 6ad + 8d^2 = a + d 2a + 7d = 2

Чтобы найти сумму первых семи членов, мы должны сложить все эти члены:

S = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) + (a + 5d) + (a + 6d)

S = 7a + 21d

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, подставив значение S и решив его относительно a и d.

Сначала решим второе уравнение относительно a:

2a + 7d = 2

a = (2 - 7d) / 2

Теперь подставим это значение a в первое уравнение:

((2 - 7d) / 2)^2 + 6((2 - 7d) / 2)d + 8d^2 = (2 - 7d) / 2 + d

Раскроем скобки и упростим уравнение:

(4 - 28d + 49d^2) / 4 + 6(2 - 7d)d + 8d^2 = (2 - 7d) / 2 + d

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

4(4 - 28d + 49d^2) + 24(2 - 7d)d + 32d^2 = 2(2 - 7d) + 4d

Раскроем скобки и упростим:

16 - 112d + 196d^2 + 48 - 168d + 24d^2 + 32d^2 = 4 - 14d + 4d

Соберем все слагаемые вместе:

252d^2 - 294d + 52 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно d. Мы можем решить его, используя формулу дискриминанта:

d = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае:

a = 252 b = -294 c = 52

Подставим эти значения в формулу и решим квадратное уравнение:

d = (-(-294) ± √((-294)^2 - 4 * 252 * 52)) / (2 * 252)

d = (294 ± √(86436 - 52992)) / 504

d = (294 ± √33444) / 504

d = (294 ± 183) / 504

Теперь у нас есть два возможных значения для d. Подставим каждое значение d во второе уравнение, чтобы найти соответствующее значение a:

При d = (294 + 183) / 504 = 477 / 504 = 0.9464:

2a + 7(0.9464) = 2

2a + 6.625 = 2

2a = -4.625

a = -2.3125

При d = (294 - 183) / 504 = 111 / 504 = 0.2202:

2a + 7(0.2202) = 2

2a + 1.5414 = 2

2a = 0.4586

a = 0.2293

Теперь у нас есть две пары значений для a и d: (a = -2.3125, d = 0.9464) и (a = 0.2293, d = 0.2202).

Мы можем использовать эти значения, чтобы найти сумму первых семи членов прогрессии S = 7a + 21d.

Для первой пары значений:

S = 7(-2.3125) + 21(0.9464) = -16.1875 + 19.8764 = 3.6889

Для второй пары значений:

S = 7(0.2293) + 21(0.2202) = 1.6051 + 4.6233 = 6.2284

Таким образом, сумма первых семи членов арифметической прогрессии может быть равна либо 3.6889, либо 6.2284 в зависимости от значений a и d.