Question

Докажите, что многочлен x^2-4x+y^2-4y+9 при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения

Answer 1

$x^2 -4x +y^2 -4y+9=(x^2 - 2\cdot 2 \cdot x + 4)+ (y^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + 4) + 1=\\ \\ = (x-2)^2 + (y -2)^2+1$

$(x-2)^2 \geq 0, \ \ (y-2)^2 \geq 0$

(то есть при минимальное значение функция принимает при $x=2$ и будет равна 1)

Answer 2

$x^2-4x+y^2-4y+9=(x^2-4x+4)+(y^2-4y+4)+1=$
$=(x-2)^2+(y-2)^2+1\ \textgreater \ 0$
т.к. все слагаемые больше 0

Answer 3

Для доказательства того, что многочлен x^2 - 4x + y^2 - 4y + 9 принимает положительные значения при любых значениях переменных, мы можем воспользоваться методом завершения квадратов.

Метод завершения квадратов:

1. Разделим многочлен на две части: одну содержащую квадраты переменных и другую содержащую линейные члены: - x^2 - 4x + y^2 - 4y + 9 = (x^2 - 4x) + (y^2 - 4y) + 9 2. Завершим квадраты в каждой части: - x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 - y^2 - 4y = (y^2 - 4y + 4) - 4 3. Перепишем многочлен с завершенными квадратами: - x^2 - 4x + y^2 - 4y + 9 = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 9 - x^2 - 4x + y^2 - 4y + 9 = (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + 5 4. Таким образом, мы получили многочлен в виде суммы квадратов и положительного числа 5.

Из этого следует, что многочлен x^2 - 4x + y^2 - 4y + 9 принимает положительные значения при любых значениях переменных x и y.