Question

Помогите с частными производными! Вычислить значения частных производных функции z(x;y), заданной неявно, в данной точке

Answer 1

Находим dz/dx. Переменную y считаем константой.
2x - 0 - 2z*dz/dx + 6*dz/dx + 2 - 0 + 0 = 0
2x + 2 = (2z - 6)*dz/dx
dz/dx = (x + 1)/(z - 3)
dz/dx (M0) = (0 + 1)/(-1 - 3) = -1/4
Находим dz/dy. Переменную x считаем константой.
0 - 2y - 2z*dz/dy + 6*dz/dy + 0 - 4 + 0 = 0
-2y - 4 = (2z - 6)*dz/dy
dz/dy = (-y - 2)/(z - 3)
dz/dy (M0) = (-1 - 2)/(-1 - 3) = 3/4

Answer 2

Чтобы вычислить значения частных производных функции z(x, y), заданной неявно, в данной точке, мы можем использовать метод частных производных. Этот метод позволяет нам найти производные функции по каждой из переменных, учитывая, что функция задана неявно.

Метод частных производных

1. Запишите уравнение функции z(x, y) в явном виде, если это возможно. Если нет, то продолжайте работать с неявным уравнением. 2. Возьмите частную производную функции z(x, y) по переменной x, считая y постоянной. Обозначим эту производную как dz/dx. 3. Возьмите частную производную функции z(x, y) по переменной y, считая x постоянной. Обозначим эту производную как dz/dy. 4. Вычислите значения частных производных dz/dx и dz/dy в данной точке, подставив значения переменных x и y в соответствующие производные.

Пример

Давайте рассмотрим пример для более ясного понимания. Предположим, у нас есть функция z(x, y), заданная неявно уравнением x^2 + y^2 = 25. Мы хотим вычислить значения частных производных функции z(x, y) в точке (3, 4).

1. Уравнение функции z(x, y) в явном виде: z(x, y) = sqrt(25 - x^2). 2. Вычисляем частную производную dz/dx: - dz/dx = -x / sqrt(25 - x^2). 3. Вычисляем частную производную dz/dy: - dz/dy = 0, так как y не входит явно в уравнение функции z(x, y). 4. Подставляем значения x = 3 и y = 4 в частные производные: - dz/dx = -3 / sqrt(25 - 3^2) = -3 / 4. - dz/dy = 0.

Таким образом, значения частных производных функции z(x, y) в точке (3, 4) равны dz/dx = -3/4 и dz/dy = 0.

Обратите внимание: В данном примере мы предположили, что функция z(x, y) может быть выражена явно. Если функция задана неявно и не может быть выражена явно, то метод частных производных может быть более сложным и требовать использования других методов, таких как метод неопределенных коэффициентов или метод подстановки.