Question

Исследуйте функцию y= x/2+2/x

Answer 1

F(x) = x/2 + 2 / x
Область определения функции Точки, в которых функция точно не определена:x1 = 0 Точки пересечения с осью координат XГрафик функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение:x /2  + x / 2 = 0  Решения не найдено,значит, график не пересекает ось X Точки пересечения с осью координат Y График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в x/2 + 2/x.f(0) = zoo значит f(x) не пересекает Y 
Экстремумы функции Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd --(f(x)) = 0 dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d --(f(x)) = dx 1 2 - - -- = 0 2 2 x Решаем это уравнение Корни этого ур-нияx 1 = -2x2 = 2Зн. экстремумы в точках:(-2, -2)(2, 2).
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:x2 = 2 Максимумы функции в точках:x2 = -2Убывает на промежутках(-oo, -2] U [2, oo)Возрастает на промежутках[-2, 2]Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx 4 -- = 0 3 x Решаем это уравнение Решения не найдены, значит перегибов у функции нет. Вертикальные асимптоты Есть:x1 = 0 Горизонтальные асимптоты Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x 2 lim - + - = -oo x->-oo2 x значит,горизонтальной асимптоты слева не существует x 2 lim - + - = oo x->oo2 x значит,горизонтальной асимптоты справа не существует Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/2 + 2/x, делённой на x при x->+oo и x->-oo x 2 - + - 2 x lim ----- = 1/2 x->-oo x значит,уравнение наклонной асимптоты слева:  y = х / 2 x 2 - + - 2 x lim ----- = 1/2 x->oo x значит,уравнение наклонной асимптоты справа: y = х /  2
Чётность и нечётность функции Проверим функция чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем:x 2 2 x -- + -- = - -- - - 1 1 1 2 2 x x - Нетx 2 -2 -x -- + -- = - --- - --- 1 1 1 2 2 x x - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию \( y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \) подробно.

1. Область определения: - Функция определена для всех значений \( x \), кроме нуля, так как в знаменателе присутствует переменная \( x \), и деление на ноль не определено. Таким образом, область определения функции - все вещественные числа, кроме \( x = 0 \).

2. Анализ поведения функции при \( x \to +\infty \) и \( x \to -\infty \): - При \( x \to +\infty \) и \( x \to -\infty \) оба члена функции стремятся к нулю, так как в числителе линейная функция \( x \), а в знаменателе квадратичная функция \( x^2 \). Таким образом, функция стремится к нулю при бесконечности.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат: - Чтобы найти точки пересечения с осями координат, приравняем \( y \) нулю: \[ \frac{x}{2} + \frac{2}{x} = 0 \] - Решение этого уравнения даст значения \( x \), которые соответствуют точкам пересечения с осями.

4. Нахождение экстремумов: - Для поиска экстремумов функции найдем ее производную и приравняем ее к нулю: \[ y'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0 \] Решив это уравнение, найдем критические точки функции.

5. Анализ поведения функции в окрестности критических точек: - Исследуем знак производной в окрестности критических точек, чтобы определить, является ли точка минимумом или максимумом.

6. Нахождение точек перегиба: - Для поиска точек перегиба функции нужно найти значения \( x \), при которых вторая производная равна нулю или не существует.

7. Построение графика: - На основе полученной информации можно построить график функции, учитывая найденные точки пересечения, экстремумы и точки перегиба.

8. Дополнительные характеристики: - Проверьте, является ли функция четной или нечетной, если она симметрична относительно осей координат.

Это общий план исследования функции. Если у вас есть конкретные вопросы по какому-то из пунктов или если вам нужна помощь в решении уравнений, дайте мне знать!