Question

Помогите пожалуйста решить 1)sin^2x+6sinx-6=0 2)cos^2x+8sinx=3 3)sun(-x)=sin2 П

Answer 1

1) sin^2x+6sinx-6=0    
Пусть sinx = t, причём t ∈ [ -1; 1]
t^2 + 6t - 6 = 0
D = 36 + 24 = 60
√D = 2√15
t 1 = ( - 6 + 2√15)/2 = - 3 + √15 ≈ 0,87
t2 = - 3 - √15  ==> ∉ [ -1; 1]

sinx = √15 - 3
x = (-1)^k arcsin(√15-3) + pik, k ∈Z

2) cos^2x + 8sinx = 3
1 - sin^2x + 8sinx - 3  = 0
sin^2x - 8sinx + 2 = 0
Пусть sinx = t, причём t ∈ [ -1; 1]
t^2 - 8t + 2 = 0
D = 64 - 8 = 56
 t= 4 - √14

sinx = 4 - √14
x = (-1)^k arcsin(4-√14) + pik, k ∈Z

Answer 2

Давайте по очереди решим каждое уравнение:

1) \( \sin^2x + 6\sin x - 6 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Мы можем решить его, используя квадратное уравнение или факторизацию.

Уравнение выглядит следующим образом: \( \sin^2x + 6\sin x - 6 = (\sin x - 1)(\sin x + 7) = 0 \).

Отсюда получаем два возможных значения для \(\sin x\):

a) \(\sin x - 1 = 0\), что дает \(\sin x = 1\). b) \(\sin x + 7 = 0\), что дает \(\sin x = -7\).

Однако значение \(\sin x\) лежит в интервале от -1 до 1, поэтому мы отбрасываем \(\sin x = -7\).

Таким образом, у нас есть одно решение: \(\sin x = 1\).

2) \( \cos^2x + 8\sin x = 3 \)

Это уравнение содержит и косинус, и синус. Давайте используем тригонометрическую идентичность \(\cos^2x + \sin^2x = 1\) для замены \(\cos^2x\) в уравнении:

\(1 + 8\sin x = 3\)

Теперь решим это уравнение относительно \(\sin x\):

\(8\sin x = 2\)

\(\sin x = \frac{1}{4}\)

Таким образом, у нас есть одно решение: \(\sin x = \frac{1}{4}\).

3) \(\sin(-x) = \sin 2x\)

Здесь мы можем использовать тригонометрическую идентичность для синуса угла \(-x\):

\(-\sin x = \sin 2x\)

Теперь приведем это к общему знаменателю:

\(-\sin x = 2\sin x\cos x\)

Теперь у нас есть уравнение, которое содержит и синус, и косинус. Рассмотрим два случая:

a) \(\sin x = 0\). В этом случае, у нас будет \(-0 = 0\), что верно для любого значения \(x\).

b) Рассмотрим случай, когда \(\sin x \neq 0\). Делим уравнение на \(\sin x\):

\(-1 = 2\cos x\)

\(\cos x = -\frac{1}{2}\)

Теперь у нас есть два значения для \(\cos x\) (\( \frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2}\)), и мы можем найти соответствующие значения для \(x\) с использованием арккосинуса.

a) \(x = \arccos\left(\frac{1}{2}\)\)

b) \(x = \arccos\left(-\frac{1}{2}\)\)

Эти значения дадут нам решения для уравнения \(\sin(-x) = \sin 2x\).

Надеюсь, это поможет вам решить ваши уравнения!