Question

Наим. и наиб. значения y=cos2x+4cosx-1

Answer 1

Y=cos2x+4cosx-1=cos²x-sin²x+4cosx-sin²x-cos²x=4cosx-2sin²x
y=4cosx-2sin²x
E(cosx)=[-1;1]
E(4cosx)=[-4;4]
E(sinx)=[-1;1]
E(sin²x)=[0;1]
E(-2sin²x)=[-2;0]
E(4cosx-2sin²x)=[-4;4]
Поэтому наибольшее значение функции равно 4, а наименьшее равно -4

Answer 2

Для начала, давайте разберемся в формуле y = cos(2x) + 4cos(x) - 1. Здесь у нас есть два тригонометрических терма: cos(2x) и cos(x), а также постоянный терм -1.

Наименьшее значение функции

Чтобы найти наименьшее значение функции, нужно найти ее минимальное значение. В данном случае, у нас нет ограничений на переменную x, поэтому мы можем использовать производные для нахождения минимума функции.

Для начала, найдем производную функции y по переменной x. Для этого мы применяем правило дифференцирования для каждого из термов по отдельности. Производная cos(2x) равна -2sin(2x), а производная cos(x) равна -sin(x).

Теперь найдем точки, где производная равна нулю. Для этого мы приравниваем каждую производную к нулю и решаем уравнения:

-2sin(2x) = 0 -sin(x) = 0

Первое уравнение даёт нам sin(2x) = 0. Учитывая, что sin(0) = 0, мы можем найти решение x = 0.

Второе уравнение даёт нам sin(x) = 0. Это имеет бесконечное количество решений, поскольку sin(x) равен нулю в точках, где x - это кратное числа пи.

Теперь, чтобы определить, является ли найденная точка минимумом или максимумом, мы должны взять вторую производную. Возьмем вторую производную функции y:

Производная -2sin(2x) дает нам -4cos(2x), а производная -sin(x) дает нам -cos(x).

Теперь мы можем подставить найденные значения x во вторую производную, чтобы определить их характер:

-4cos(2*0) = -4cos(0) = -4 -cos(0) = -1

Значения второй производной равны -4 и -1 соответственно. Таким образом, x = 0 является локальным максимумом функции y = cos(2x) + 4cos(x) - 1.

Наибольшее значение функции

Чтобы найти наибольшее значение функции, нужно найти ее максимальное значение. В данном случае, у нас нет ограничений на переменную x, поэтому мы можем использовать производные для нахождения максимума функции.

Аналогично, мы находим производные для каждого из термов по отдельности:

Производная cos(2x) равна -2sin(2x), а производная cos(x) равна -sin(x).

Затем находим точки, где производная равна нулю:

-2sin(2x) = 0 -sin(x) = 0

Первое уравнение даёт нам sin(2x) = 0. При решении этого уравнения, мы находим x = 0, x = pi/2 и x = pi.

Второе уравнение даёт нам sin(x) = 0. Это имеет бесконечное количество решений, так как sin(x) равен нулю в точках, где x - это кратное числа пи.

Теперь, чтобы определить, является ли найденная точка минимумом или максимумом, мы должны взять вторую производную. Возьмем вторую производную функции y:

Производная -2sin(2x) дает нам -4cos(2x), а производная -sin(x) дает нам -cos(x).

Теперь мы можем подставить найденные значения x во вторую производную, чтобы определить их характер:

-4cos(2*0) = -4cos(0) = -4 -4cos(2*(pi/2)) = -4cos(pi) = -4 -4cos(2*pi) = -4cos(0) = -4 -cos(0) = -1

Значения второй производной равны -4 и -1 соответственно. Таким образом, x = 0, x = pi/2 и x = pi являются локальными максимумами функции y = cos(2x) + 4cos(x) - 1.

Также стоит отметить, что в данном случае, функция y = cos(2x) + 4cos(x) - 1 является периодической с периодом pi. Это означает, что ее значения будут повторяться с определенной периодичностью.