Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/х^2, у = 4, у = 1

Answer 1

Y^2=4x =>x=y^2/4 Интегрировать будем по yПри x=1 => y^2/4=1 =>y=±2 При x=9 => y^2/4=9 =>y=±6 Фигура состоит из двух частей симетричных оси OX.Найдем верхнюю часть и умножим ее на 2, чтобы получить всю площадьs1=int(y^2/4) oт o до 6 - int(y^2/4) от 0 до 2 == y^3/12  oт o до 6 - y^3/12 oт o до 2 ==18-0-(2/3-0)=18-2/3=52/3и вся площадь равна 2*52/3=104/3

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/х^2, у = 4 и у = 1, мы можем воспользоваться методом интегрирования.

Сначала найдем точки пересечения линий у = 1/х^2 и у = 4. Подставим у = 4 в уравнение у = 1/х^2:

4 = 1/х^2

Умножим обе части уравнения на х^2:

4х^2 = 1

Разделим обе части уравнения на 4:

х^2 = 1/4

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

х = ±1/2

Таким образом, точки пересечения линий находятся при х = -1/2 и х = 1/2.

Теперь мы можем найти площадь фигуры, используя интеграл. Площадь фигуры будет равна разности интегралов функций у = 4 и у = 1/х^2 на интервале от -1/2 до 1/2:

Площадь = ∫(у = 4) - ∫(у = 1/х^2) dx

∫(у = 4) dx = 4x ∫(у = 1/х^2) dx = -1/х

Теперь подставим пределы интегрирования:

Площадь = [4x] от -1/2 до 1/2 - [-1/х] от -1/2 до 1/2

Подставим пределы интегрирования и вычислим:

Площадь = [4(1/2) - 4(-1/2)] - [-1/(1/2) - (-1/(-1/2))]

Площадь = [2 + 2] - [-2 - 2]

Площадь = 4 - (-4)

Площадь = 8

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/х^2, у = 4 и у = 1, равна 8.