Question

Составьте уравнение той касательной к графику функции y=ln 2x , которая проходит через начало координат.

Answer 1

Y(0)=ln0-не сущ.
Касательной в этой точке нет

Answer 2

Касательная к графику функции \(y = \ln(2x)\) в точке \((x_0, y_0)\) имеет уравнение вида:

\[y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\]

где \(f'(x)\) - производная функции \(f(x)\).

Для начала найдем производную функции \(y = \ln(2x)\). Используем правило дифференцирования логарифма:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x}\]

Теперь мы знаем, что производная функции \(y = \ln(2x)\) равна \(\frac{1}{2x}\).

Чтобы найти уравнение касательной, проходящей через начало координат \((0, 0)\), нужно определить значение \(x_0\) и \(y_0\). Так как касательная проходит через начало координат, у нее нет сдвига по оси \(y\) (то есть \(y_0 = 0\)), а также она касается графика при \(x_0\) (то есть \(x_0\) будет таким, что \(y = \ln(2x_0)\)).

Подставим \(x_0\) в \(y = \ln(2x)\):

\[0 = \ln(2x_0)\]

Решив это уравнение, найдем \(x_0\):

\[\ln(2x_0) = 0\] \[2x_0 = e^0\] \[2x_0 = 1\] \[x_0 = \frac{1}{2}\]

Теперь у нас есть точка \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\), через которую проходит касательная.

Используем производную \(\frac{1}{2x}\) в точке \(x = \frac{1}{2}\), чтобы составить уравнение касательной:

\[y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\] \[y - 0 = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}}(x - \frac{1}{2})\] \[y = x - \frac{1}{2}\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = \ln(2x)\), проходящей через начало координат, равно \(y = x - \frac{1}{2}\).