Question

Найти угол между осью Ox и касательной к графику функции y= f(x)в точке с абциссой x0 если : f(x)= 1/3 * x^2, x0 = 1 пропустил урок, помогите хочу посмотреть как такие решать.

Answer 1

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x₀)=k(кас.)

$f`(x)=\frac{1}{3}(x^2)`= \frac{1}{3}\cdot 2x= \frac{2}{3}x$

$f`(1)= \frac{2}{3}\Rightarrow k= \frac{2}{3}$

Геометрический смысл углового коэффициента k в уравнении прямой у=kx+b

k=tgα,  где  α- угол наклона прямой с положительным направлением оси ох

Ответ. α=arctg (2/3)

Answer 2

Конечно, посчитаем угол между осью \( Ox \) и касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x_0 = 1 \), где \( f(x) = \frac{1}{3}x^2 \).

Сначала найдём производную функции \( f(x) \) для определения углового коэффициента касательной в точке \( x_0 = 1 \):

\[ f(x) = \frac{1}{3}x^2 \]

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^2\right) \]

Производная \( f'(x) \) функции \( f(x) \) равна \( \frac{2}{3}x \). Теперь найдем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):

\[ f'(1) = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3} \]

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке \( x_0 = 1 \) равен \( \frac{2}{3} \).

Теперь найдем угол \( \theta \) между осью \( Ox \) и касательной. Угловой коэффициент касательной равен \( \frac{2}{3} \), и мы знаем, что для прямой \( y = mx \) (где \( m \) - угловой коэффициент) угол \( \theta \) между этой прямой и осью \( Ox \) определяется как \( \theta = \arctan(m) \).

Таким образом, подставляя \( m = \frac{2}{3} \):

\[ \theta = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \]

После вычислений, \( \theta \approx 33.69^\circ \) (в радианах это примерно \( 0.588 \)). Это будет угол между осью \( Ox \) и касательной к графику функции \( y = \frac{1}{3}x^2 \) в точке с абсциссой \( x_0 = 1 \).