Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x^4 - 8x + 3 на отрезке [-1; 0]

Answer 1

$y= x^4 - 8x + 3$             $[-1; 0]$

$y'= (x^4 - 8x + 3)'=4x^3-8$
$y'=0$
$4x^3-8=0$
$x^3-2=0$
$x^3=2$
$x= \sqrt[3]{2}$  ∉   $[-1; 0]$
$y(-1)= (-1)^4 - 8*(-1) + 3=1+8+3=12$  - наибольшее значение функции
$y(0)= 0^4 - 8*0 + 3=3$ - наименьшее значение функции

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = x^4 - 8x + 3 на отрезке [-1; 0], мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для этого найдем критические точки функции, то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Затем проверим значения функции в этих точках и на концах отрезка, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение.

Нахождение критических точек

Для начала найдем производную функции y = x^4 - 8x + 3. Производная позволяет нам найти точки, где функция имеет экстремумы.

y = x^4 - 8x + 3

Берем производную по x:

y' = 4x^3 - 8

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

4x^3 - 8 = 0

Решим это уравнение:

4x^3 = 8 x^3 = 2 x = ∛2

Проверка значений функции

Теперь найденные критические точки, а также значения функции на концах отрезка [-1; 0], подставим в исходную функцию и сравним полученные значения.

Подставим x = -1:

y = (-1)^4 - 8(-1) + 3 y = 1 + 8 + 3 y = 12

Подставим x = ∛2:

y = (∛2)^4 - 8(∛2) + 3

Для упрощения вычислений, применим примерное значение ∛2 ≈ 1.26:

y ≈ (1.26)^4 - 8(1.26) + 3 y ≈ 1.97 - 10.08 + 3 y ≈ -4.11

Подставим x = 0:

y = 0^4 - 8(0) + 3 y = 3

Ответ

На отрезке [-1; 0] наибольшее значение функции равно 12, а наименьшее значение равно -4.11.