Question

найти экстремум функции y=x^3-2x^2+x-2

Answer 1

y=x^3-2x^2+x-2

y`=3x^2-4x+1

y`=0

3x^2-4x+1=0

D=4-3=1

x1=(2+1)/3=1

x2=(2-1)/3=1/3

Отмечаем точки на числовой прямой и расставляем знаки. Так как парабола ветвями вверх, то знаки +/-/+

Значит, х=1/3 - точка максимума, а х=1 - точка минимума

Ответ: х=1/3 - точка максимума

х=1 - точка минимума

Answer 2

$y=x^3-2x^2+x-2\\y'=3x^2-4x+1\\3x^2-4x+1=0\\D=16-12=4\\x_{12}=\frac{4\pm2}6\\x=\frac{1}3 \ || \ \ x=1\\max \ \ \ || \ min$

Answer 3

Для нахождения экстремумов функции y = x^3 - 2x^2 + x - 2 нужно взять производную этой функции и приравнять ее к нулю. Это позволит найти точки, где функция имеет экстремумы.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции y = x^3 - 2x^2 + x - 2, мы применим правила дифференцирования для каждого члена функции по отдельности.

Производная члена x^n, где n - целое число, равна n*x^(n-1).

Таким образом, для каждого члена функции:

dy/dx = d/dx (x^3) - d/dx (2x^2) + d/dx (x) - d/dx (2)

Производная x^3 равна 3x^2, производная 2x^2 равна 4x, производная x равна 1, а производная константы равна 0.

Теперь мы можем записать производную функции:

dy/dx = 3x^2 - 4x + 1

Решение уравнения dy/dx = 0

Для нахождения точек, в которых производная функции равна нулю, мы приравниваем выражение dy/dx = 3x^2 - 4x + 1 к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

3x^2 - 4x + 1 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или метода полного квадрата. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта.

Нахождение корней квадратного уравнения

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней.

В нашем случае уравнение имеет вид 3x^2 - 4x + 1 = 0, где a = 3, b = -4 и c = 1. Вычислим дискриминант:

D = (-4)^2 - 4*3*1 = 16 - 12 = 4

Так как D > 0, уравнение имеет два различных вещественных корня.

Нахождение корней уравнения

Корни квадратного уравнения могут быть найдены с использованием формулы:

x = (-b ± √D) / (2a)

Для нашего уравнения, где a = 3, b = -4 и c = 1, вычислим корни:

x1 = (-(-4) + √4) / (2*3) = (4 + 2) / 6 = 6 / 6 = 1 x2 = (-(-4) - √4) / (2*3) = (4 - 2) / 6 = 2 / 6 = 1/3

Таким образом, уравнение dy/dx = 0 имеет два корня: x = 1 и x = 1/3.

Анализ экстремумов

Мы нашли точки, в которых производная функции равна нулю: x = 1 и x = 1/3. Чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, мы должны проанализировать знаки производной вокруг этих точек.

Для этого мы можем построить таблицу знаков. Выберем произвольные значения x, меньшие 1/3, между 1/3 и 1, и больше 1, и подставим их в производную функции dy/dx = 3x^2 - 4x + 1.

Значения x меньше 1/3: - При x = 0: dy/dx = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 > 0 - При x = 1/6: dy/dx = 3(1/6)^2 - 4(1/6) + 1 = 1/12 - 2/3 + 1 = 1/12 - 8/12 + 12/12 = 5/12 > 0

Значения x между 1/3 и 1: - При x = 1/2: dy/dx = 3(1/2)^2 - 4(1/2) + 1 = 3/4 - 2 + 1 = 3/4 - 8/4 + 4/4 = -1/4 < 0

Значения x больше 1: - При x = 2: dy/dx = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0 - При x = 3: dy/dx = 3(3)^2 - 4(3) + 1 = 27 - 12 + 1 = 16 > 0

Из таблицы знаков можно сделать следующие выводы:

- В точке x = 1 производная меняет знак с положительного на отрицательный, поэтому эта точка является локальным максимумом. - В точке x = 1/3 производная меняет знак с отрицательного на положительный, поэтому эта точка является локальным минимумом.

Ответ

Таким образом, функция y = x^3 - 2x^2 + x - 2 имеет локальный максимум в точке x = 1 и локальный минимум в точке x = 1/3.