Question

Известно, что sin(π/3+t)+sin(π/3-t)=p. Найдите sin(π/3+t)*sin(π/3-t)

Answer 1

Sin (π/3 + t) + sin (π/3 - t) = 2 sin (π/3)·cos t = 2·√3/2·cos t = √3·cos t = p
cos t = p / √3
cos 2t = 2cos²t - 1 = 2·p²/3  - 1
sin (π/3 + t) · sin (π/3 - t) = 1/2 (cos 2t - cos (2π/3)) = 1/2 · cos 2t - 1/2 · (-1/2) = 
= 1/2 cos 2t + 1/4 = 1/2 · (2·p²/3  - 1) + 1/4 = p²/3 - 3/4

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой суммы тригонометрических функций:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

В нашем случае у нас есть:

sin(π/3 + t) + sin(π/3 - t) = p

Заметим, что sin(π/3 + t) и sin(π/3 - t) являются суммой двух углов, и мы можем применить формулу суммы:

sin(π/3 + t) + sin(π/3 - t) = sin(π/3)cos(t) + cos(π/3)sin(t) + sin(π/3)cos(t) - cos(π/3)sin(t)

Так как sin(π/3) = √3/2 и cos(π/3) = 1/2, получаем:

sin(π/3 + t) + sin(π/3 - t) = (√3/2)cos(t) + (1/2)sin(t) + (√3/2)cos(t) - (1/2)sin(t)

Упрощая данное выражение, получаем:

2(√3/2)cos(t) = p

√3cos(t) = p

Теперь найдем sin(π/3 + t) * sin(π/3 - t):

sin(π/3 + t) * sin(π/3 - t) = (sin(π/3)cos(t) + cos(π/3)sin(t))(sin(π/3)cos(t) - cos(π/3)sin(t))

Так как sin(π/3) = √3/2 и cos(π/3) = 1/2, получаем:

sin(π/3 + t) * sin(π/3 - t) = (√3/2)cos(t) * (√3/2)cos(t) - (1/2)sin(t) * (1/2)sin(t)

Упрощая данное выражение, получаем:

sin(π/3 + t) * sin(π/3 - t) = (3/4)cos^2(t) - (1/4)sin^2(t)

Таким образом, мы получили выражение для sin(π/3 + t) * sin(π/3 - t) в зависимости от угла t.