Question

1) (cos5α+cos6α+cos7α)/(sin5α+sin6α+sin7α); 2) tg(45˚+3α)-tg(45˚-3α).

Answer 1

1
Воспользуемся формулами
cosa+cosb=2cos(a+b)/2*cos(a-b)/2
sina+sinb=2sin(a+b)/2*cos(a-b)/2
(2cos6acosa+cos6a)/(2sin6acosa+sin6a)=cos6a(2cosa+1)/[sin6a(2cosa+1)]=
=ctg6a
2
Воспользуемся формулами
tg(a+b)=(tga+tgb)/(1-tgatgb)
tg(a-b)=(tga-tgb)/(1+tgatgb)
(tg45+tg3a)/(1-tg45tg3a)-(tg45-tg3a)/(1+tg45tg3a)=
(1+tg3a)/(1-tg3a)-(1-tg3a)/(1+tg3a)=[(1+tg3a)²-(1-tg3a)²]/(1-tg²3a)=
=(1+tg3a-1+tg3a)(1+tg3a+1-tg3a)/(1-tg²3a)=4tg3a/(1-tg²3a)=2tg6a

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое выражение по отдельности:

1) (cos5α+cos6α+cos7α)/(sin5α+sin6α+sin7α)

Для начала, давайте преобразуем числитель и знаменатель отдельно:

Числитель: cos5α + cos6α + cos7α

Здесь мы имеем сумму трех косинусов с различными углами. Возможно, вы заметили, что это похоже на формулу для суммы косинусов:

cos(x) + cos(y) = 2 * cos((x+y)/2) * cos((x-y)/2)

Мы можем использовать эту формулу, чтобы упростить числитель:

cos5α + cos6α = 2 * cos((5α+6α)/2) * cos((5α-6α)/2) = 2 * cos(11α/2) * cos(-α/2) = 2 * cos(11α/2) * cos(α/2)

Теперь добавим третий косинус:

cos5α + cos6α + cos7α = 2 * cos(11α/2) * cos(α/2) + cos7α

Теперь перейдем к знаменателю:

Знаменатель: sin5α + sin6α + sin7α

Аналогично, мы можем использовать формулу для суммы синусов:

sin(x) + sin(y) = 2 * sin((x+y)/2) * cos((x-y)/2)

Применим эту формулу для упрощения знаменателя:

sin5α + sin6α = 2 * sin((5α+6α)/2) * cos((5α-6α)/2) = 2 * sin(11α/2) * cos(-α/2) = 2 * sin(11α/2) * cos(α/2)

Добавим третий синус:

sin5α + sin6α + sin7α = 2 * sin(11α/2) * cos(α/2) + sin7α

Теперь объединим числитель и знаменатель:

(cos5α + cos6α + cos7α)/(sin5α + sin6α + sin7α) = (2 * cos(11α/2) * cos(α/2) + cos7α)/(2 * sin(11α/2) * cos(α/2) + sin