Question

X^4+2x^2-3 иследуйте функцию на монотонность иэкстремкумы и нарисовать графики

Answer 1

Все во вложении. Использованы формулы производной, зависимость поведения функции от знака производной

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию \(f(x) = x^4 + 2x^2 - 3\) и проанализируем её на монотонность и наличие экстремумов. Для этого вычислим производные функции и найдем критические точки.

1. Нахождение производных: - Первая производная: \(f'(x) = 4x^3 + 4x\). - Вторая производная: \(f''(x) = 12x^2 + 4\).

2. Нахождение критических точек: - Для нахождения критических точек решим уравнение \(f'(x) = 0\): \[4x^3 + 4x = 0.\] - Выносим общий множитель: \[4x(x^2 + 1) = 0.\] - Получаем два уравнения: \(4x = 0\) и \(x^2 + 1 = 0\). - Решения: \(x = 0\) и \(x = \pm i\), где \(i\) - мнимая единица.

3. Определение знаков производных: - Для определения интервалов монотонности рассмотрим знаки производных в этих интервалах. - Построим таблицу знаков: \[ \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & 0 & +\infty \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ f''(x) & + & + & + \end{array} \] - Из таблицы видно, что производная \(f'(x)\) меняет знак с отрицательного на положительный при \(x < 0\), что означает убывание функции до точки \(x = 0\) и возрастание после. - Вторая производная \(f''(x)\) всегда положительна, что говорит о том, что функция выпукла вверх на всей области определения.

4. Экстремумы: - Точка \(x = 0\) является точкой перегиба, а не экстремумом, так как производная меняет знак, но не достигает нуля.

5. Построение графика: - На основе полученной информации можно построить график функции. Я не могу визуализировать графики, но вы можете воспользоваться графическим программным обеспечением, таким как Desmos или GeoGebra.

В итоге, функция \(f(x) = x^4 + 2x^2 - 3\) убывает на интервале \((-\infty, 0)\) и возрастает на интервале \((0, +\infty)\). Она не имеет точек локального минимума или максимума, но имеет точку перегиба в \(x = 0\).