Question

Доведіть, що 25^4 - 125^2 кратне 40

Answer 1

$\frac{25^4-125^2}{40}=\frac{(5^2)^4-(5^3)^2}{40}=\frac{5^8-5^6}{40}=\frac{5^6(5^2-1)}{40}=\frac{5^6(25-1)}{5*8}=\\\\=\frac{5^6(24)}{5*8}==\frac{5^6(3*8)}{5*8}=5^5*3=9375$

Answer 2

Щоб довести, що \(25^4 - 125^2\) кратне 40, розглянемо кожен елемент окремо та використаємо алгебру:

\[25^4 - 125^2\]

Спростимо обидва члени виразу:

\[25^4 = (5^2)^4 = 5^8\]

\[125^2 = (5^3)^2 = 5^6\]

Тепер підставимо це назад у вираз:

\[5^8 - 5^6\]

Візьмемо \(5^6\) як спільний множник:

\[5^6 \cdot (5^2 - 1)\]

Тепер розглянемо вираз \(5^2 - 1\):

\[5^2 - 1 = 25 - 1 = 24\]

Отже, весь вираз буде:

\[5^6 \cdot 24\]

Тепер розглянемо кратність 40. Розділімо на 40:

\[5^6 \cdot 24 / 40 = 5^6 \cdot 3 / 5\]

За скороченням множників 5, ми отримаємо:

\[5^5 \cdot 3\]

Отже, вираз \(25^4 - 125^2\) кратне 40, бо його можна записати у вигляді \((5^5 \cdot 3) \cdot 40\).