Question

Докажите что при любом целом значении n (n принадлежит Z) значение выражения: a) n^2-5n+2 кратно 2 б) n^3+2n-3 кратно 3

Answer 1

Доказать можно методом математической индукции...
только есть нюанс -числа целые (а не натуральные)))
1) для четного целого n утверждение очевидно:
n = 2k, k∈Z          (2k)² - 5(2k) + 2 = 2*(2k² - 5k + 1)
2) для НЕчетного целого n:
n = 2k+1, k∈Z         
(2k+1)² - 5(2k+1) + 2 = 4k² + 4k + 1 - 10k - 5 + 2 = 2*(2k² - 3k - 1)
----------------------------------------------------------------------------------------
для чисел, кратных трем, будет на один вариант больше представлений:
n = 3k (число кратно трем)
n = 3k+1 (число НЕ кратно трем --дает остаток 1)
n = 3k+2 (число НЕ кратно трем --дает остаток 2)
1)      (3k)³ + 2(3k) - 3 = 3*(9k³ + 2k - 1)
2)      (3k+1)³ + 2(3k+1) - 3 = 27k³ + 27k² + 9k + 1 + 6k + 2 - 3 =
= 3*(9k³ + 9k² + 3k)
3)      (3k+2)³ + 2(3k+2) - 3 = 27k³ + 54k² + 36k + 8 + 6k + 4 - 3 =
= 3*(9k³ + 18k² + 14k + 3)
--------------------------------------------------------------------------------------
можно было доказывать и в первом и во втором случае кратность только для первых двух слагаемых, т.к. третьи слагаемые в обоих случаях кратны заданным числам... чуть короче бы получилось...

Answer 2

Для начала докажем, что значение выражения \( n^2 - 5n + 2 \) кратно 2 при любом целом значении \( n \), где \( n \) принадлежит множеству целых чисел \( Z \). Затем мы докажем, что значение выражения \( n^3 + 2n - 3 \) кратно 3 при любом целом значении \( n \).

Доказательство для \( n^2 - 5n + 2 \) кратно 2

Для того чтобы доказать, что \( n^2 - 5n + 2 \) кратно 2 при любом целом значении \( n \), мы можем воспользоваться методом подстановки и проверить несколько случаев.

Давайте рассмотрим выражение \( n^2 - 5n + 2 \) в виде \( n(n - 5) + 2 \). Мы заметим, что умножение любого целого числа на другое целое число даст целое число, и добавление целого числа к целому числу также даст целое число.

Теперь мы можем рассмотреть два возможных случая:

1. Когда \( n \) четное число: Пусть \( n = 2k \), где \( k \) - целое число. Тогда \( n(n - 5) + 2 = 2k(2k - 5) + 2 = 4k^2 - 10k + 2 \). Мы видим, что все члены являются четными числами, поэтому результат является кратным 2.

2. Когда \( n \) нечетное число: Пусть \( n = 2k + 1 \), где \( k \) - целое число. Тогда \( n(n - 5) + 2 = (2k + 1)(2k - 4) + 2 = 4k^2 - 8k + 2 + 2k - 4 + 2 = 4k^2 - 6k \). Мы видим, что результат также является кратным 2.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения \( n^2 - 5n + 2 \) кратно 2 при любом целом значении \( n \).

Доказательство для \( n^3 + 2n - 3 \) кратно 3

Теперь мы можем перейти к доказательству, что значение выражения \( n^3 + 2n - 3 \) кратно 3 при любом целом значении \( n \).

Для этого мы также воспользуемся методом подстановки и проверим несколько случаев.

Рассмотрим выражение \( n^3 + 2n - 3 \). Мы можем заметить, что при подстановке любого целого числа \( n \), результат будет суммой куба целого числа и умножения целого числа на 2, после чего вычитается 3.

Теперь давайте рассмотрим три возможных случая:

1. Когда \( n \) кратно 3: Пусть \( n = 3k \), где \( k \) - целое число. Тогда \( n^3 + 2n - 3 = (3k)^3 + 2(3k) - 3 = 27k^3 + 6k - 3 = 3(9k^3 + 2k - 1) \). Мы видим, что результат является кратным 3.

2. Когда \( n \) имеет остаток 1 при делении на 3: Пусть \( n = 3k + 1 \), где \( k \) - целое число. Тогда \( n^3 + 2n - 3 = (3k + 1)^