Question

X в квадрате +(m-2)x-(m+3)=0 при каком значении m сумма квадратов корней уравнений будет наименьшей?

Answer 1

x^2+(m-2)x-(m+3)=0 разложим на множители

по обратной теореме Виета

x1+x2=2-m

x1x2=-m-3

х1,х2 - корни данного уравнения

^ - степень (в степени)

x1 ^2  +x2 ^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(2-m)^2-2(-m-3)=4+m^2-4m+2m+6=m^2-2m+10=(m-1)^2+9>=9 (так как квадрат любого выражения неотрицателен),

откуда сумма квадратов принимает наименьшее значение 9 при m=1 (квадрат выражения (m-1)^2 равен 0 )

ответ: при m=1

Answer 2

Я могу помочь вам решить задачу по алгебре.

Дано уравнение: $$X^2+(m-2)X-(m+3)=0$$ Нужно найти значение $$m$$, при котором сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей.

Для начала, найдем корни уравнения по формуле Виета: $$X_1+X_2=-(m-2)$$ и $$X_1X_2=-(m+3)$$ Тогда сумма квадратов корней равна: $$X_1^2+X_2^2=(X_1+X_2)^2-2X_1X_2=(m-2)^2+2(m+3)$$ Это квадратный трехчлен относительно $$m$$, который имеет минимум, когда его производная равна нулю: $$\frac{d}{dm}(X_1^2+X_2^2)=2(m-2)+2=0$$ Отсюда находим, что $$m=1$$ Подставляя это значение в сумму квадратов корней, получаем: $$(X_1^2+X_2^2)_{min}=(-1)^2+2(-1+3)=6$$ Таким образом, сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей, когда $$m=1$$, и равна $$6$$.

Надеюсь, это было полезно. Если вы хотите узнать больше о решении уравнений, вы можете посетить [сайт Symbolab](https://ru.symbolab.com/solver/roots-calculator), где вы найдете много примеров и пояснений.