Question

Решить уравнение*sin²(2x-П/6)=3/4

Answer 1

sin^2(2x-p/6)=3/4

sin(2x-p/6)=+-sqrt3/2

2x-p/6=+-(-1)^k*p/3+pk

2x=+-(-1)^k*p/3+p/6+pk

x=+-(-1)^k*p/6+p/12+pk/2; k принадлежит Z

Answer 2

Давайте решим это уравнение поэтапно.

Шаг 1: Перепишем уравнение в более простой форме. У нас есть уравнение sin²(2x - π/6) = 3/4. Давайте заменим sin²(2x - π/6) на его эквивалентную форму 1 - cos²(2x - π/6). Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

1 - cos²(2x - π/6) = 3/4

Шаг 2: Решим уравнение для cos²(2x - π/6). Перенесем 3/4 на левую сторону уравнения:

1 - cos²(2x - π/6) - 3/4 = 0

Упростим левую сторону:

1 - cos²(2x - π/6) - 3/4 = 1 - cos²(2x - π/6) - 3/4 = 4/4 - cos²(2x - π/6) - 3/4 = (4 - 4cos²(2x - π/6) - 3) / 4 = (1 - 4cos²(2x - π/6)) / 4

Теперь у нас есть следующее уравнение:

(1 - 4cos²(2x - π/6)) / 4 = 0

Шаг 3: Решим уравнение для cos(2x - π/6). Умножим обе стороны уравнения на 4:

1 - 4cos²(2x - π/6) = 0

Перенесем 1 на правую сторону уравнения:

-4cos²(2x - π/6) = -1

Теперь разделим обе стороны на -4:

cos²(2x - π/6) = 1/4

Шаг 4: Решим уравнение для cos(2x - π/6). Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

cos(2x - π/6) = ±√(1/4)

cos(2x - π/6) = ±1/2

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: cos(2x - π/6) = 1/2 Для этого случая, найдем все значения x, удовлетворяющие этому условию:

2x - π/6 = arccos(1/2)

2x - π/6 = π/3 или 2π/3 + 2nπ (n - целое число)

2x = π/3 + π/6 или 2π/3 + π/6 + 2nπ

2x = π/2 или 5π/6 + 2nπ

x = π/4 или (5π/6 + 2nπ)/2

x = π/4 или 5π/12 + nπ (n - целое число)

Случай 2: cos(2x - π/6) = -1/2 Для этого случая, найдем все значения x, удовлетворяющие условию:

2x - π/6 = arccos(-1/2)

2x - π/6 = 2π/3 или 4π/3 + 2nπ (n - целое число)

2x = π/3 + π/6 или 4π/3 + π/6 + 2nπ

2x = 5π/6 или 7π/6 + 2nπ

x = 5π/12 или (7π/6 + 2nπ)/2

x = 5π/12 или 7π/12 + nπ (n - целое число)

Таким образом, уравнение sin²(2x - π/6) = 3/4 имеет следующие решения:

x = π/4, 5π/12, 7π/12 + nπ (n - целое число)