Question

Свойства функции 2tg0,5xпомогите пожалуйста!

Answer 1

1) Эта функция нечетная

$f(x)=2\tan(0,5x)$

$f(-x)=2\tan(-0,5x)=-2\tan(0,5x)=-f(x)$

$f(-x)=-f(x)$

2) Периодическая, с периодом, равным $2\pi$.

$f(x)=2\tan(0,5(x+2\pi))=2\tan(0,5x+\pi)=2\frac{\tan0,5x+\tan\pi}{1-\tan0,5x*\tan\pi}=$

$=2\frac{\tan0,5x}{1-0*\tan0,5x}=2\frac{\tan0,5x}{1}=2\tan{0,5x}$

3) асимтотами функции будут прямые $x=\pi+2k\pi,\quad k\in Z$  

4) Эта функция возрастает на каждом из промежутков $(-\pi+2k\pi;\,\pi+2k\pi),\quad k\in Z$. Так как ее производная всегда положительна $f'(x)=\frac{1}{\cos^20,5 x}*\frac{1}{2}$, кроме точек, в которых проходят асимптоты. Там производная не существует.

5) Экстремумов функция не имеет.

6) Зато есть точки перегиба. Возьмем вторую производную. $f''(x)=\frac{1}{2}\frac{-2}{\cos^3(0,5x)}*(-\sin(0,5x))*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\frac{\sin(0,5x)}{\cos^3(0,5x)}$

Если приравнять ее к нулю, то получим, что числитель должен быть равен нулю.

sin(0,5x)=0

$0,5x=\pi*k,\quad k\in Z$

$x=2\pi k,\quad k\in Z$  - это точки перегиба, совпадающие с нулями самой функции 


7) Промежутки знакопостоянства функции

 $x\in(2\pi*k;\,\pi+2\pi k)$ - функция положительна

$(-\pi+2\pi k;\,2\pi k)$ - функция отрицательна

Answer 2

Свойства функции 2tg(0.5x)

Функция 2tg(0.5x) представляет собой тангенс половины аргумента x, умноженный на 2. Давайте рассмотрим некоторые свойства этой функции.

1. Область определения: Функция 2tg(0.5x) определена для всех значений x, за исключением тех, для которых tg(0.5x) не определен. Тангенс не определен для значений, при которых cos(0.5x) равен нулю. Таким образом, область определения функции 2tg(0.5x) - это все значения x, за исключением тех, для которых cos(0.5x) = 0.

2. График функции: График функции 2tg(0.5x) будет иметь форму тангенсоиды, но с удвоенной амплитудой по сравнению с обычным тангенсом. График будет периодическим с периодом, равным 2π.

3. Нули функции: Нули функции 2tg(0.5x) будут совпадать с нулями функции tg(0.5x). Нули tg(0.5x) можно найти, решив уравнение tg(0.5x) = 0. Это происходит, когда 0.5x равно кратному π. Таким образом, нули функции 2tg(0.5x) будут иметь вид x = kπ, где k - целое число.

4. Асимптоты: Функция 2tg(0.5x) будет иметь вертикальные асимптоты в точках, где cos(0.5x) = 0. Таким образом, асимптоты будут иметь вид x = (2k + 1)π, где k - целое число.

5. Периодичность: Функция 2tg(0.5x) будет периодической с периодом, равным 2π. Это означает, что значения функции повторяются через каждые 2π.

6. Производная: Чтобы найти производную функции 2tg(0.5x), мы можем использовать правило дифференцирования композиции функций. Производная будет равна произведению производной тангенса от 0.5x и производной от 0.5x. Таким образом, производная функции 2tg(0.5x) будет равна 2 * (1/cos^2(0.5x)) * 0.5 = 1/(cos^2(0.5x)).

Это некоторые из основных свойств функции 2tg(0.5x). Если у вас есть конкретные вопросы или нужна дополнительная информация, пожалуйста, уточните.