Question

Разложите на множители (a-2b)^4-8(a-2b) 2) (x-3y)^4-27x+81y

Answer 1

1)(a-2b)^4-8(a-2b)=(a-2b)((a-2b)^3-8)=(a-2b)(a-2b-2)(a^2-4ab+4b^2+2a-4b+4)
2) (x-3y)^4-27x+81y=(x-3y)^4-27(x-3y)=(x-3y)((x-3y)^3-27)=(x-3y)(x-3y-3)(x^2-6xy+9y^2+3x-9y+9)

Answer 2

Для разложения на множители выражения (a-2b)^4-8(a-2b)+2, а также (x-3y)^4-27x+81y, нам понадобится использовать формулы для разложения куба суммы и квадрата разности.

Разложение (a-2b)^4-8(a-2b)+2

Первым шагом разложим квадрат разности (a-2b)^2:

(a-2b)^2 = a^2 - 2ab - 2ab + 4b^2 = a^2 - 4ab + 4b^2

Теперь применим формулу для разложения куба суммы:

(a-2b)^3 = (a-2b)(a^2 - 4ab + 4b^2) = a^3 - 4a^2b + 4ab^2 - 2a^2b + 8ab^2 - 8b^3 = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3

Наконец, возводим полученное выражение в четвертую степень:

(a-2b)^4 = (a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3)^2 = a^4 - 6a^3b + 12a^2b^2 - 8ab^3 - 6a^3b + 36a^2b^2 - 72ab^3 + 48b^4 + 12a^2b^2 - 72ab^3 + 144b^4 - 96b^5 = a^4 - 12a^3b + 54a^2b^2 - 96ab^3 + 48b^4 - 96b^5

Теперь подставим это выражение в исходное:

(a-2b)^4-8(a-2b)+2 = a^4 - 12a^3b + 54a^2b^2 - 96ab^3 + 48b^4 - 96b^5 - 8a + 16b + 2

Разложение (x-3y)^4-27x+81y

Аналогично, разложим сначала квадрат разности (x-3y)^2:

(x-3y)^2 = x^2 - 3xy - 3xy + 9y^2 = x^2 - 6xy + 9y^2

Затем применим формулу для разложения куба суммы:

(x-3y)^3 = (x-3y)(x^2 - 6xy + 9y^2) = x^3 - 6x^2y + 9xy^2 - 3x^2y + 18xy^2 - 27y^3 = x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3

Наконец, возводим полученное выражение в четвертую степень:

(x-3y)^4 = (x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3)^2 = x^4 - 9x^3y + 27x^2y^2 - 27xy^3 - 9x^3y + 81x^2y^2 - 243xy^3 + 243y^4 + 27x^2y^2 - 243xy^3 + 729y^4 - 729y^5 = x^4 - 18x^3y + 135x^2y^2 - 486xy^3 + 729y^4 - 729y^5

Подставим это выражение в исходное:

(x-3y)^4-27x+81y = x^4 - 18x^3y + 135x^2y^2 - 486xy^3 + 729y^4 - 729y^5 - 27x + 81y

Таким образом, мы разложили исходные выражения на множители.