Question

При каких значениях переменных многочлен принимает наименьшее значение? Найдите это наименьшее значение. х(во 2ой степени) + 4ху + 4у(во 2ой степени) + 1 Помогите, пожалуйста!

Answer 1

х^2 + 4xy + 4y^2 + 1=(x+2y)^2 + 1

Т.к. квадрат любого выраженияя не может принимать отрицательные значения, то наименьшее его значение равно 0.

(х+2у)^2=0,   х=-2у

наименьшее значение: 

(x+2y)^2 + 1 = 0 + 1 = 1

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения многочлена необходимо найти его минимум. Для этого можно воспользоваться методом дифференцирования.

Для начала, найдем частные производные многочлена по переменным х и у:

∂P/∂x = 2х + 4у ∂P/∂y = 4х + 8у

Затем приравняем обе производные к нулю и решим полученную систему уравнений:

2х + 4у = 0 4х + 8у = 0

Можно заметить, что эти два уравнения эквивалентны, поэтому можно решить только одно из них. Например, решим первое уравнение:

2х + 4у = 0 Разделим оба члена на 2: х + 2у = 0 х = -2у

Теперь найдем значение у, подставив найденное значение х в любое из исходных уравнений. Для простоты выберем второе уравнение:

4х + 8у = 0 4(-2у) + 8у = 0 -8у + 8у = 0 0 = 0

Таким образом, у нас получается ноль. Это означает, что многочлен принимает наименьшее значение равное нулю при любых значениях х и у.

Таким образом, наименьшее значение многочлена равно нулю.