Question

Решите уравнение 5sin^2x + 5sinxcosx + 2cos^2x =1

Answer 1

.................................

Answer 2

Давайте решим уравнение 5sin^2x + 5sinxcosx + 2cos^2x = 1.

Шаг 1: Применение тригонометрических тождеств

Первым шагом мы можем применить некоторые тригонометрические тождества, чтобы упростить уравнение. В данном случае, мы можем использовать следующие тождества:

1. sin^2x + cos^2x = 1 2. sin2x = 2sinxcosx

Применяя эти тождества, уравнение может быть переписано следующим образом:

5sin^2x + 5sinxcosx + 2cos^2x = 1 5(sin^2x + sinxcosx) + 2cos^2x = 1 5(sin^2x + sinxcosx) + 2(1 - sin^2x) = 1 5sin^2x + 5sinxcosx + 2 - 2sin^2x = 1 3sin^2x + 5sinxcosx + 1 = 0

Шаг 2: Замена переменной

Для удобства, мы можем ввести новую переменную, скажем t, и заменить sinx на t. Тогда уравнение примет вид:

3t^2 + 5tcosx + 1 = 0

Шаг 3: Решение уравнения в зависимости от cosx

Теперь, у нас есть уравнение вида квадратного трехчлена относительно t, и его решение будет зависеть от значения cosx.

Если cosx = 0, то уравнение сводится к:

3t^2 + 1 = 0

Это уравнение не имеет действительных корней, так как коэффициент при t^2 положительный.

Если cosx ≠ 0, то мы можем поделить уравнение на cosx:

3t^2/cos^2x + 5t + 1/cos^2x = 0

Теперь, мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

(3/cos^2x)t^2 + (5/cosx)t + (1/cos^2x) = 0

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь, у нас есть квадратное уравнение относительно t. Мы можем использовать общую формулу для решения квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 3/cos^2x, b = 5/cosx и c = 1/cos^2x.

Решив это уравнение, мы найдем значения t.

Шаг 5: Нахождение sinx и x

Теперь, мы можем использовать полученные значения t, чтобы найти sinx. Вспоминая, что мы заменили sinx на t, мы можем использовать обратное соотношение sinx = t.

Таким образом, мы найдем значения sinx.

Наконец, чтобы найти значения x, мы можем использовать обратную функцию синуса (sin^-1) для полученных значений sinx.

Пожалуйста, дайте мне знать, если вам нужны расчеты для конкретных значений cosx или дополнительная информация.