Question

Решите уравнение |x^2-2x-4|+9/x^2-9=x^2-4x+3+x^2/x^2-9

Answer 1

$|x^2-2x-4|+ \dfrac{9}{x^2-9} =x^2-4x+3+ \dfrac{x^2}{x^2-9}$

Найдем нули подмодульного выражения
$x^2-2x-4=0 \\ D=4+16=20=(2 \sqrt{5})^2 \\ x_{1,2}= \dfrac{2б2 \sqrt{5} }{2}=1б \sqrt{5}$

a>0 ⇒ модуль открывается со знаком "+" при x∈(-∞;1-√5)U[1+√5;+∞) и со знаком "-" при x∈[1-√5;1+√5)

1) 
$x^2-2x-4+ \dfrac{9}{x^2-9} =x^2-4x+3+ \dfrac{x^2}{x^2-9}$

ОДЗ:
x∈(-∞;1-√5)U[1+√5;+∞)
x≠3
x≠-3

$2x+ \dfrac{9-x^2}{x^2-9}=7 \\ \\ 2x-1=7 \\ 2x=8 \\ x=4$

2)
$-x^2+2x+4+ \dfrac{9}{x^2-9}=x^2-4x+3+ \dfrac{x^2}{x^2-9}$

ОДЗ:
x∈[1-√5;1+√5)
x≠3
x≠-3

$-2x^2+6x+1+ \dfrac{9-x^2}{x^2-9}=0 \\ x^2-3x=0 \\ x(x-3)=0 \\ x=0 \cup x=3$
x=3∉ОДЗ

Ответ: 0; 4 

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Изолируем модуль

Первым шагом в решении данного уравнения будет изолирование модуля. Для этого умножим обе части уравнения на знак модуля, то есть на (x^2 - 2x - 4)/(x^2 - 2x - 4), чтобы убрать модуль:

|x^2 - 2x - 4| + 9/(x^2 - 9) = x^2 - 4x + 3 + x^2/(x^2 - 9)

(x^2 - 2x - 4) * |x^2 - 2x - 4| + (x^2 - 2x - 4) * (9/(x^2 - 9)) = (x^2 - 2x - 4) * (x^2 - 4x + 3) + (x^2 - 2x - 4) * (x^2/(x^2 - 9))

Упрощаем выражения

Следующим шагом будет упрощение полученных выражений. Обратите внимание, что мы можем сократить (x^2 - 2x - 4) на обоих сторонах уравнения:

|x^2 - 2x - 4|^2 + 9(x^2 - 2x - 4)/(x^2 - 9) = (x^2 - 2x - 4)(x^2 - 4x + 3) + (x^2 - 2x - 4)(x^2/(x^2 - 9))

(x^2 - 2x - 4)^2 + 9(x^2 - 2x - 4)/(x^2 - 9) = (x^2 - 2x - 4)(x^2 - 4x + 3 + x^2/(x^2 - 9))

Раскрываем скобки

Теперь раскроем скобки на обоих сторонах уравнения:

(x^2 - 2x - 4)(x^2 - 2x - 4) + 9(x^2 - 2x - 4)/(x^2 - 9) = (x^2 - 2x - 4)(x^2 - 4x + 3 + x^2/(x^2 - 9))

(x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4x^3 + 16x^2 - 16x + 4x^2 - 16x + 16 + 9(x^2 - 2x - 4)/(x^2 - 9) = (x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 4x^3 + 16x^2 - 12x + x^2 - 4x + 3x^2/(x^2 - 9))

Упрощаем выражения

Теперь упростим полученное уравнение:

x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 + 9(x^2 - 2x - 4)/(x^2 - 9) = x^4 - 8x^3 + 4x^2 - 16x + 3x^2 - 12x + 3x^2/(x^2 - 9)

Сокращаем дроби

Далее сократим дроби, упростив уравнение:

x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 + 9(x^2 - 2x - 4)/(x^2 - 9) = x^4 - 8x^3 + 4x^2 - 16x + 3x^2 - 12x + 3x^2/(x^2 - 9)

x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 + 9(x^2 - 2x - 4)/(x^2 - 9) = x^4 - 8x^3 + 4x^2 - 16x + 3x^2 - 12x + 3x^2/(x^2 - 9)

Сокращаем подобные члены

Далее сократим подобные члены на обеих сторонах уравнения:

16 + 9(x^2 - 2x - 4)/(x^2 - 9) = 3x^2 - 28x + 3x^2/(x^2 - 9)

Упрощаем дроби

Теперь упростим полученное уравнение, сократив дроби:

16(x^2 - 9) + 9(x^2 - 2x - 4) = 3x^2(x^2 - 9) - 28x(x^2 - 9) + 3x^2

16x^2 - 144 + 9x^2 - 18x - 36 = 3x^4 - 27x^2 - 28x^3 + 252x + 3x^2

Упорядочиваем члены

Упорядочим члены уравнения по степеням переменной:

3x^4 - 28x^3 + (16x^2 + 9x^2 - 27x^2) + (-18x - 28x) + (-144 - 36) + (-252x) = 0

3x^4 - 28x^3 - 8x^2 - 270x - 180 = 0

Решаем уравнение

Теперь мы получили квадратное уравнение 4-й степени. Чтобы решить его, можно воспользоваться численными методами или компьютерными программами.

Ответ: Уравнение |x^2 - 2x - 4| + 9/(x^2 - 9) = x^2 - 4x + 3 + x^2/(x^2 - 9) является квадратным уравнением 4-й степени: 3x^4 - 28x^3 - 8x^2 - 270x - 180 = 0. Для его решения можно воспользоваться численными методами или компьютерными программами.