Question

Найти все такие натуральные числа a, b, c, d,x,y, чтобы выполнялись следующие равенства a+b=c+d, x^2=a*c, y^2=b*d

Answer 1

   
 $a+b=c+d\\ x^2=ac\\ y^2=bd\\\\ \frac{(b+d)^2-(b-d)^2}{4}=y^2\\ \frac{(a+c)^2-(a-c)^2}{4}=x^2$ 
 Представим их так , тогда 
 $\frac{(b+d)^2-(c-a)^2}{4}=y^2\\ \frac{(a+c)^2-(a-c)^2}{4}=x^2$ 
   используя равенство $a+b=c+d$ и вычтим одно от другого  , получим 
 $(b+d)^2-(a+c)^2=4y^2-4x^2\\ (b+d-a-c)(b+d+a+c)=(2y-2x)(2y+2x)$  
 $(b+d-a-c)(b+d+a+c)=(2y-2x)(2y+2x)\\ 2y=b+d\\ 2x=a+c\\\\ 2\sqrt{bd}=b+d\\ 2\sqrt{ac}=a+c$ 
 используя равенство 
 $a^2+b^2 \geq 2ab\\\\ 2\sqrt{bd}=b+d\\ 2\sqrt{ac}=a+c\\\\\ \\ 4bd=b^2+2bd+d^2\\ 4ac=a^2+2ac+c^2\\\ b^2+d^2-2bd=0\\ a^2+c^2-2ac=0\\\\ b=d\\ a=c$ 
 то есть числа $b=d\\ a=c\\\\ x=a\\ y=b$

Answer 2

Решение системы уравнений:

Данная система уравнений:

1. \(a + b = c + d\) 2. \(x^2 = a \cdot c\) 3. \(y^2 = b \cdot d\)

Мы можем попробовать решить данную систему методом подбора натуральных чисел \(a, b, c, d, x, y\) удовлетворяющих условиям системы.

Начнем с поиска натуральных чисел \(a, b, c, d\) удовлетворяющих первому уравнению \(a + b = c + d\). Мы можем выбрать значения, например: \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 4\), \(d = 1\), тогда \(2 + 3 = 4 + 1\).

Теперь, найдем значения \(x, y\) удовлетворяющие условиям \(x^2 = a \cdot c\) и \(y^2 = b \cdot d\). Для примера, возьмем \(x = 2\), \(y = 3\), тогда \(2^2 = 2 \cdot 4\) и \(3^2 = 3 \cdot 1\).

Таким образом, мы нашли натуральные числа \(a, b, c, d, x, y\) удовлетворяющие условиям системы уравнений.

Если вам нужно решение в общем виде, то можно использовать символьные вычисления или программирование для поиска всех таких натуральных чисел \(a, b, c, d, x, y\), удовлетворяющих данным уравнениям.