Question

Тригонометрические уровнения: 1)7sin*2x+5sinx-2=0 2)5sin*2x-21cosx-9=0 3)5tgx-6ctgx+7=0 помогите пожалуйста

Answer 1

1)7t^2+5t-2=0
D=25+4*7*2=81
t=(-5+9)/14=2/7
t2=(-5-9)/14=-1
sinx=2/7                       sinx=-1
x=(-1)^n arcsin 2/7+pin      x=-pi/2+2pik

Answer 2

1) Рассмотрим уравнение 7sin^2(x) + 5sin(x) - 2 = 0.

Для удобства заменим sin(x) на t. Тогда уравнение примет вид: 7t^2 + 5t - 2 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4*7*(-2) = 25 + 56 = 81.

Так как D > 0, у нас есть два различных действительных корня: t1 = (-b + √D) / (2a) = (-5 + √81) / (2*7) = (8 - 5) / 14 = 3 / 14, t2 = (-b - √D) / (2a) = (-5 - √81) / (2*7) = (-8 - 5) / 14 = -13 / 14.

Теперь найдем значения sin(x), соответствующие этим двум значениям t: sin(x1) = 3 / 14, sin(x2) = -13 / 14.

Так как sin(x) не может быть больше 1 или меньше -1, мы можем сделать вывод, что уравнение не имеет действительных решений.

2) Рассмотрим уравнение 5sin^2(2x) - 21cos(x) - 9 = 0.

Для удобства заменим sin^2(2x) на t. Тогда уравнение примет вид: 5t - 21cos(x) - 9 = 0.

Для решения этого уравнения нам понадобится использовать тригонометрические тождества. Применим формулу двойного угла для cos(2x): cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).

Теперь подставим это выражение в уравнение: 5t - 21(1 - 2sin^2(x)) - 9 = 0.

Упростим: 5t - 21 + 42sin^2(x) - 9 = 0, 5t + 42sin^2(x) - 30 = 0.

Для удобства заменим sin^2(x) на u: 5t + 42u - 30 = 0.

Решим это уравнение относительно t: t = (30 - 42u) / 5.

Теперь найдем значения cos(x), соответствующие этим значениям u: cos(x1) = √(1 - u), cos(x2) = -√(1 - u).

Заметим, что значения u должны быть в диапазоне от 0 до 1, так как sin^2(x) не может быть больше 1 или меньше 0.

Подставим значения t и cos(x) обратно в исходное уравнение и решим его численно или графически, чтобы найти действительные решения.

3) Рассмотрим уравнение 5tan(x) - 6cot(x) + 7 = 0.

Для удобства заменим tan(x) на t. Тогда уравнение примет вид: 5t - 6/t + 7 = 0.

Умножим уравнение на t, чтобы избавиться от дроби: 5t^2 - 6 + 7t = 0.

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4*5*(-6) = 49 + 120 = 169.

Так как D > 0, у нас есть два различных действительных корня: t1 = (-b + √D) / (2a) = (-7 + √169) / (2*5) = (13 - 7) / 10 = 6 / 10 = 3 / 5, t2 = (-b - √D) / (2a) = (-7 - √169) / (2*5) = (-13 - 7) / 10 = -20 / 10 = -2.

Теперь найдем значения tan(x), соответствующие этим значениям t: tan(x1) = 3 / 5, tan(x2) = -2.

Так как tan(x) не может быть равным -2, мы можем сделать вывод, что уравнение не имеет действительных решений.