Question

кграфикуфункции у=ln(x-1) проведенакасательная ,параллельнаябиссектрисе первойкоординатнойчетверти. Найдите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями ордина

Answer 1

...........................................................................................................

Answer 2

Для начала, давайте построим график функции у = ln(x-1). График функции ln(x) имеет вертикальную асимптоту в точке x = 0 и проходит через точку (1, 0).

Построение графика функции y = ln(x-1)

Для построения графика функции у = ln(x-1), мы сдвигаем график функции ln(x) вправо на 1 единицу. Таким образом, точка (1, 0) становится вертикальной асимптотой, а новой точкой пересечения становится (2, 0).

Теперь, давайте построим линию касательной, которая параллельна биссектрисе первой координатной четверти. Чтобы найти эту линию, нам нужно найти значение производной функции у = ln(x-1) в точке пересечения (2, 0).

Нахождение производной функции y = ln(x-1)

Чтобы найти производную функции y = ln(x-1), мы можем использовать правило дифференцирования для логарифмических функций. Для функции y = ln(u), производная равна u' / u, где u - это аргумент логарифма.

В нашем случае, u = x-1, поэтому производная будет равна (x-1)' / (x-1).

Производная функции у = ln(x-1) равна 1 / (x-1).

Нахождение уравнения касательной

Теперь, чтобы найти уравнение касательной в точке (2, 0), мы можем использовать уравнение прямой вида y = mx + b, где m - это наклон касательной, а b - это точка пересечения с осью ординат.

Мы уже знаем, что точка пересечения с осью ординат равна (0, ln(0-1)) = (0, ln(-1)).

Таким образом, уравнение касательной будет иметь вид y = (1 / (2-1))(x - 2) + ln(-1).

Нахождение площади треугольника

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, образованного этой касательной и осями ординат, нам нужно найти длины его сторон.

Один из углов треугольника находится на оси ординат и имеет координаты (0, 0). Другие две вершины находятся на касательной и имеют координаты (2, 0) и (0, ln(-1)).

Таким образом, длины сторон треугольника равны:

- Сторона AB: расстояние между точками (0, 0) и (2, 0) = 2 единицы. - Сторона BC: расстояние между точками (2, 0) и (0, ln(-1)) = sqrt((0-2)^2 + (ln(-1)-0)^2) = sqrt(4 + ln^2(-1)) единицы. - Сторона CA: расстояние между точками (0, ln(-1)) и (0, 0) = ln(-1) единицы.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу площади треугольника S = 1/2 * основание * высоту.

В нашем случае, основание треугольника равно стороне AB, которая равна 2 единицы, а высота равна стороне CA, которая равна ln(-1) единиц.

Таким образом, площадь треугольника равна:

S = 1/2 * 2 * ln(-1) = ln(-1) единицы.

Таким образом, площадь треугольника, образованного касательной и осями ординат, равна ln(-1) единиц.