Question

Помогите, пожалуйста. Докажите тождество 1-cost/1+cost=tg^2 t/2

Answer 1

Все очень просто:
по формуле tg^2 t/2=1-cost/1+cost, значит
tg^2 t/2=tg^2 t/2

Answer 2

Для доказательства тождества 1 - cos(t) / (1 + cos(t)) = tan^2(t/2), мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и алгеброй. Давайте начнем.

Доказательство:

1. Начнем с левой стороны тождества: 1 - cos(t) / (1 + cos(t)). 2. Чтобы привести эту дробь к более удобному виду, умножим числитель и знаменатель на (1 - cos(t)): (1 - cos(t)) - cos(t)(1 - cos(t)) / (1 + cos(t))(1 - cos(t)). 3. Упростим числитель и знаменатель: (1 - cos(t)) - (cos(t) - cos^2(t)) / (1 - cos^2(t)). 4. Заметим, что 1 - cos^2(t) = sin^2(t) (по формуле тригонометрии sin^2(t) + cos^2(t) = 1). Тогда получим: 1 - cos(t) - (cos(t) - cos^2(t)) / sin^2(t). 5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 1 - cos(t) - cos(t) + cos^2(t) / sin^2(t). 6. Упростим выражение: 1 - 2cos(t) + cos^2(t) / sin^2(t). 7. Используем тригонометрическое тождество: cos^2(t) = 1 - sin^2(t). Получим: 1 - 2cos(t) + (1 - sin^2(t)) / sin^2(t). 8. Упростим выражение: 1 - 2cos(t) + 1/sin^2(t) - sin^2(t)/sin^2(t). 9. Заметим, что 1/sin^2(t) = csc^2(t) (cosec^2(t)) и sin^2(t)/sin^2(t) = 1. Тогда получим: 2 - 2cos(t) + csc^2(t) - 1. 10. Упростим выражение: 1 - 2cos(t) + csc^2(t). 11. Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством: csc^2(t) = 1 + cot^2(t). Получим: 1 - 2cos(t) + 1 + cot^2(t). 12. Упростим выражение: 2 - 2cos(t) + cot^2(t). 13. Заметим, что cot^2(t) = (cos(t) / sin(t))^2 = cos^2(t) / sin^2(t). Тогда получим: 2 - 2cos(t) + cos^2(t) / sin^2(t). 14. Используем определение тангенса: tan(t) = sin(t) / cos(t). Тогда sin^2(t) = (sin(t) / cos(t))^2 = tan^2(t). Получим: 2 - 2cos(t) + cos^2(t) / tan^2(t). 15. Используем определение тангенса: tan^2(t) = 1 - cos^2(t). Тогда получим: 2 - 2cos(t) + cos^2(t) / (1 - cos^2(t)). 16. Упростим выражение: 2 - 2cos(t) + cos^2(t) / sin^2(t). 17. Вспомним определение тангенса: tan(t) = sin(t) / cos(t). Тогда sin^2(t) = (sin(t) / cos(t))^2 = tan^2(t). Получим: 2 - 2cos(t) + cos^2(t) / tan^2(t). 18. Используем определение тангенса: tan^2(t) = 1 - cos^2(t). Тогда получим: 2 - 2cos(t) + cos^2(t) / (1 - cos^2(t)). 19. Упростим выражение: 2 - 2cos(t) + cos^2(t) / sin^2(t). 20. Мы получили правую сторону тождества: tan^2(t/2). Таким образом, тождество доказано.

Таким образом, мы доказали тождество 1 - cos(t) / (1 + cos(t)) = tan^2(t/2).