Question

Какой остаток при делении на 8 дает число 7^43

Answer 1

$\frac{7^{43}}{8} = \frac{(8-1)^{43}}{8} = \frac{8^{43}-43*8^{42}+...+43*8^1 -1}{8} = \\ \\ =8^{42}-43*8^{41}+...+43- \frac{1}{8} =8^{42}-43*8^{41}+...+42+ \frac{7}{8}$

Остаток от деления равен 7

Answer 2

Чтобы найти остаток при делении числа 7^43 на 8, мы можем использовать свойство остатка от деления.

Сначала рассмотрим остатки при делении степеней числа 7 на 8: - 7^1 = 7 (остаток 7 при делении на 8) - 7^2 = 49 (остаток 1 при делении на 8) - 7^3 = 343 (остаток 7 при делении на 8) - 7^4 = 2401 (остаток 1 при делении на 8) - 7^5 = 16807 (остаток 7 при делении на 8)

Мы видим, что остатки при делении степеней числа 7 на 8 чередуются между 7 и 1. То есть, четные степени дают остаток 1, а нечетные степени дают остаток 7.

Теперь, чтобы найти остаток от деления числа 7^43 на 8, мы можем разложить показатель степени 43 на сумму четных и нечетных степеней: 43 = 42 + 1

Так как 42 - четное число, то остаток от деления 7^42 на 8 будет 1. Из предыдущего анализа мы знаем, что остаток от деления 7^1 на 8 также будет 7.

Теперь мы можем найти остаток от деления числа 7^43 на 8, объединив остатки от деления 7^42 и 7^1 на 8: Остаток от деления (7^43) на 8 = (Остаток от деления 7^42 на 8) * (Остаток от деления 7^1 на 8) = 1 * 7 = 7

Таким образом, остаток при делении числа 7^43 на 8 равен 7.