Question

Найдите общее решение уравнения 0,5*sin2x*ctgx-cosx = sin^2 x В ответе запишите углы, принадлежащие промежутку [0:П]

Answer 1

0,5sin2xctgx-cosx=sin^2x <=> 0,5*2sinxcosx*cosx/sinx-cosx-sin^2x=0 <=> cos^2x-sin^2x-cosx=0 <=> cos^2x-(1-cos^2x)-cosx=0 <=> 2cos^2x-cox-1=0;
Пусть cosx=t,
Имеем: 2t^2-t-1=0; D=9; t=1, t=-1/2.
Имеем два уравнения: cosx=1 и cosx=-1/2.
1) cosx=1 <=> x=2pi*k, k£Z;
2) cosx=-1/2 <=> x=+-arccos(-1/2)+2pi*k, k£Z <=> x=+-(pi-pi/3)+2pi*k <=> x=+-2pi/3+2pi*k, k£Z.
Нам нужны углы от [0; Пи].
Обозначив нужные углы на единичной окружности имеем:
Х€{2pi*k; pi/3+2pi*k; 2pi/3+2pi*k}.

Answer 2

Общее решение уравнения

Дано уравнение: 0,5*sin(2x)*ctg(x) - cos(x) = sin^2(x).

Для нахождения общего решения уравнения, мы должны решить его относительно переменной x.

Шаг 1: Приведем уравнение к более удобному виду.

Используя тригонометрические тождества, заменим ctg(x) на 1/tan(x):

0,5*sin(2x)*(1/tan(x)) - cos(x) = sin^2(x).

Шаг 2: Упростим уравнение.

Умножим обе части уравнения на 2*sin(x)*tan(x), чтобы избавиться от дробей:

sin(2x) - 2*cos(x)*sin(x) = 2*sin^3(x).

Шаг 3: Применим тригонометрические тождества для упрощения уравнения.

Используя формулы двойного угла и половинного угла, заменим sin(2x) и sin^3(x):

2*sin(x)*cos(x) - 2*cos(x)*sin(x) = 2*(1 - cos^2(x))*sin(x).

Упростим уравнение:

2*sin(x)*cos(x) - 2*cos(x)*sin(x) = 2*sin(x) - 2*sin(x)*cos^2(x).

Шаг 4: Сократим одинаковые слагаемые.

0 = 2*sin(x) - 2*sin(x)*cos^2(x).

Шаг 5: Факторизуем уравнение.

Вынесем общий множитель sin(x):

0 = 2*sin(x)*(1 - cos^2(x)).

Шаг 6: Применим тригонометрическое тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x).

0 = 2*sin(x)*(1 - (1 - sin^2(x))).

Шаг 7: Упростим уравнение.

0 = 2*sin(x)*(sin^2(x)).

Шаг 8: Разделим обе части уравнения на sin(x).

0 = 2*sin^3(x).

Шаг 9: Решим полученное уравнение.

Уравнение 2*sin^3(x) = 0 имеет два решения:

1. sin(x) = 0. Это возможно при x = 0 и x = π.

Ответ: Углы, принадлежащие промежутку [0:П] и являющиеся решениями уравнения, это x = 0 и x = π.