Question

Докажите,что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел кратна 8.

Answer 1

Пусть 2n + 1 - первое нечётное число, тогда следующее нечётное число равно 2n + 3. Найдём разность квадратов этих чисел:

(2n + 3)² - (2n + 1)² = (2n + 3 + 2n + 1)*(2n + 3 - 2n - 1) =

= (4n + 4) * 2 = 8 (n + 1)

Как видим, разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

Answer 2

Для доказательства этого факта, рассмотрим два последовательных нечетных числа: (2n+1) и (2n+3), где n - любое целое число.

Разность их квадратов будет:

(2n+3)^2 - (2n+1)^2 = 4n^2 + 12n + 9 - (4n^2 + 4n + 1) = 8n + 8 = 8(n + 1).

Мы видим, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел равна 8, умноженному на (n + 1), где n - целое число.

Таким образом, разность квадратов двух последовательных нечетных чисел всегда кратна 8.