Question

1. 64а^3-27b^6. - разложить на множители 2. Доказать, что при всех натуральных n значение выражения (3n+2)^3+(4n+5)^3. кратно 7 Помогите пожалуйста!!!!!!

Answer 1

64a³-27b⁶=(4a)³-(3b²)³=(4a-3b²)((4a)²+(4a)*(3b²)+(3b²)²=
=(4a-3b²)(16a²+12ab²+9b⁴)
(3n+2)³+(4n+5)³= (3n+2+4n+5)((3n+2)²-(3n+2)(4n+5)+(4n+5)²)=
=(7n+7)((3n+2)²-(3n+21)(4n+5)+(4n+5)²)=
=7(n+1)((3n+2)²-(3n+2)(4n+5)+(4n+5)²).

Answer 2

1. Разложение на множители выражения 64a^3 - 27b^6: Для разложения данного выражения на множители, мы можем использовать формулу разности кубов: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Применяя эту формулу, мы можем разложить выражение 64a^3 - 27b^6 следующим образом: 64a^3 - 27b^6 = (4a)^3 - (3b^2)^3 = (4a - 3b^2)((4a)^2 + (4a)(3b^2) + (3b^2)^2). Таким образом, выражение 64a^3 - 27b^6 разлагается на множители как (4a - 3b^2)((4a)^2 + (4a)(3b^2) + (3b^2)^2).

2. Доказательство, что выражение (3n + 2)^3 + (4n + 5)^3 кратно 7 для всех натуральных n: Чтобы доказать, что данное выражение кратно 7 для всех натуральных n, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Базис индукции: При n = 1: (3(1) + 2)^3 + (4(1) + 5)^3 = 5^3 + 9^3 = 125 + 729 = 854. Заметим, что 854 не делится на 7 без остатка. Индукционное предположение: Предположим, что для некоторого k, выражение (3k + 2)^3 + (4k + 5)^3 кратно 7. Индукционный шаг: Докажем, что если предположение верно для k, то оно также верно для k + 1. Рассмотрим выражение (3(k + 1) + 2)^3 + (4(k + 1) + 5)^3: (3(k + 1) + 2)^3 + (4(k + 1) + 5)^3 = (3k + 5)^3 + (4k + 9)^3. Раскроем скобки и преобразуем выражение: (3k + 5)^3 + (4k + 9)^3 = (27k^3 + 135k^2 + 225k + 125) + (64k^3 + 288k^2 + 432k + 243). Сложим два выражения: (27k^3 + 135k^2 + 225k + 125) + (64k^3 + 288k^2 + 432k + 243) = 91k^3 + 423k^2 + 657k + 368. Заметим, что 91k^3 + 423k^2 + 657k + 368 = 7(13k^3 + 61k^2 + 93k + 52). Таким образом, выражение (3(k + 1) + 2)^3 + (4(k + 1) + 5)^3 также кратно 7. Исходя из базиса индукции и индукционного шага, мы можем заключить, что выражение (3n + 2)^3 + (4n + 5)^3 кратно 7 для всех натуральных n.

Надеюсь, это поможет вам! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.