Question

10 баллов.Найдите рациональные корни уравнения: 2х^4+7х^3-3х^2-5х-1=0

Answer 1

2x⁴+7x³-3x²-5x-1=0
x₁=1
2x⁴+7x³-3x²-5x-1 I_x-1_
2x⁴-2x³                I 2x³+9x²+6x+1
--------
      9x³-3x²
      9x³-9x²
      --------
             6x²-5x
             6x²-6x
             --------
                      x-1
                      x-1
                     -----
                         0
2x³+9x²+6x+1=0 I÷2
x³+4,5x²+3x+0,5=0
x₂=-0,5
x³+4,5x+3x+0,5 I_x+0,5_
x³+0,5x²           I x²+4x+1
----------
       4x²+3x
       4x²+2x
      ---------
             x+0,5
             x+0,5
             -------
                    0
x²+4x+1=0  D=12 ⇒ √D-√12, то есть корни этого уравнения будут иррациональными.
Ответ: х₁=1  х₂=-0,5.

Answer 2

Для нахождения рациональных корней уравнения 2x^4 + 7x^3 - 3x^2 - 5x - 1 = 0 можно воспользоваться различными методами, такими как метод Рациональных корней, метод Коши или метод Феррари. Давайте воспользуемся методом Рациональных корней, который позволяет искать рациональные корни уравнения.

Метод Рациональных корней

Метод Рациональных корней предполагает поиск всех возможных рациональных корней уравнения путем применения правила остатков и проверки всех делителей свободного члена и коэффициента при старшей степени.

Сначала мы ищем все делители свободного члена (-1) и делители коэффициента при старшей степени (2). Делители свободного члена: ±1. Делители коэффициента при старшей степени: ±1, ±2.

Теперь мы можем составить все возможные рациональные корни уравнения с помощью комбинаций делителей свободного члена и коэффициента при старшей степени, например ±1/1, ±1/2, ±(-1)/1, ±(-1)/2 и так далее.

Проверка рациональных корней

Далее, мы можем применить теорему о рациональных корнях (теорема о целочисленных корнях) для проверки найденных рациональных корней и выявления тех, которые являются действительно корнями уравнения.

Используя найденные рациональные корни, можно применить метод синтетического деления или метод Горнера для деления уравнения на (x - корень) и нахождения упрощенного уравнения меньшей степени.

После применения метода синтетического деления или метода Горнера мы можем получить уравнение меньшей степени, для которого можно снова найти рациональные корни и продолжить процесс до тех пор, пока не найдем все рациональные корни и не разложим исходное уравнение на линейные и квадратные множители.

После нахождения рациональных корней уравнения 2x^4 + 7x^3 - 3x^2 - 5x - 1 = 0 методом Рациональных корней, можно применить методы решения уравнений для нахождения всех корней уравнения.

Если вам нужно, я могу также помочь вам с использованием Python для численного решения этого уравнения.