Question

Решите уравнение: | x-1| + |x-2| + |x-3| + ... + |x-10| +10=x

Answer 1

Преобразуем, перенеся 10 вправо:
|x-1|+|x-2|+...+|x-9|+|x-10|= x-10.

Левая часть уравнения представляет собой сумму модулей, а значит - неотрицательное число (модуль всегда больше или равен нуля), значит, и правая часть уравнения так же - неотрицательная. А значит, последний модуль в левой части открывается со знаком +. Имеем: 

|x-1|+|x-2|+...+|x-9|+x-10= x-10.

Видно, что х-10 справа и слева взаимно уничтожаются, остается уравнение:

|x-1|+|x-2|+...+|x-9|= 0

Теперь получаем сумму модулей, которая должна быть равна нулю. Из того же свойства модуля (модуль всегда больше или равен нуля) делаем вывод, что каждый из модулей в левой части должен быть равен нулю одновременно. То есть, х-1=0, х-2=0, .. , х-9=0 одновременно, или х=1, х=2, ..., х=9 одновременно. Чего не может быть. Значит, решений исходное уравнение не имеет. 
Ответ: нет решений. 

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Уравнение имеет следующий вид:

| x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | + ... + | x - 10 | = 10

Для начала, заметим, что каждое выражение вида | x - i | будет иметь два решения: x - i = i и x - i = -i. Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Решение 1: x - i = i

Рассмотрим выражение | x - i |. Если x - i = i, то модуль | x - i | будет равен нулю, так как разность x - i равна нулю. Таким образом, для каждого i в данном уравнении, у нас будет одно решение x = i.

Решение 2: x - i = -i

Рассмотрим выражение | x - i |. Если x - i = -i, то модуль | x - i | будет равен i, так как разность x - i равна -i. Таким образом, для каждого i в данном уравнении, у нас будет еще одно решение x = 2i.

Теперь у нас есть два случая для каждого i: x = i и x = 2i. Давайте рассмотрим каждый случай и найдем значения x, которые удовлетворяют уравнению.

Случай 1: x = i

Подставим x = i в уравнение:

| i - 1 | + | i - 2 | + | i - 3 | + ... + | i - 10 | = 10

Так как каждый модуль | i - j | будет равен нулю при i = j, у нас остается только одно слагаемое | i - i | =